Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Учебные материалы и курсы для подготовки
к ЕГЭ по математике и другим предметам

+7 (495) 984-09-27
+7 (800) 775-06-82
Задача 19

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

Касательная к окружности

. Угол равен , где  — центр окружности. Его сторона  касается окружности. Найдите величину меньшей дуги  окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол  — прямой. Из треугольника получим, что угол равен  градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги  — тоже  градуса.

Ответ: .

. Найдите угол , если его сторона  касается окружности,  — центр окружности, а большая дуга  окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен  градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол  — прямой. Тогда угол равен .

Ответ: .

. Хорда  стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Проведем радиус  в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник  — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен  градуса, и тогда угол равен  градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Рисунок к задаче 5

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: .

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Рисунок к задаче 6

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку  — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку  с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Ответ: .

Получи полный курс геометрии + набор шпаргалок бесплатно!

Звоните нам: +7 (495) 984-09-27, +7 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Полезные материалы для ЕГЭ в нашей рассылке. Обучающее видео бесплатно!

Ссылка на обучающее видео придет Вам по e-mail.