Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Учебные материалы и курсы для подготовки
к ЕГЭ по математике и другим предметам

+7 (495) 984-09-27
+7 (800) 775-06-82
Задача 19

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Квадрат и его свойства

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Мы знаем, что . Тогда .

2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Рисунок к задаче 2

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: .

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Рисунок к задаче 3

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: .

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Рисунок к задаче 4

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: .

5. Найдите радиус  окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите
.

Рисунок к задаче 5

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник  — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Ответ: .

Получи полный курс геометрии + набор шпаргалок бесплатно!

Звоните нам: +7 (495) 984-09-27, +7 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Полезные материалы для ЕГЭ в нашей рассылке. Обучающее видео бесплатно!

Ссылка на обучающее видео придет Вам по e-mail.