Slider

Решение 18 вариант 1

18.
\left\{\begin{matrix}y=\sqrt{x(2-x)}\\(x-ay+2a)(x-y-a)=0\end{matrix}\right.
Если a=0, то x\cdot (x-y)=0 и система имеет 2 решения.
Пусть a\neq 0, тогда

\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2}+y^{2}=1\\y\geq 0\\\left[\begin{gathered}y=\frac{x}{a}+2\\y=x-a \\\end{gathered}\right.\end{matrix}\right.

1)
РИСУНОК
Первое уравнение y=\sqrt{x(2-x)} равносильно системе:
\left\{\begin{matrix}y\geq 0\\(x-1)^{2}+y^{2}=1\\\end{matrix}\right.
Эта система задает верхнюю полуокружность с центром (1;0) и радиусом 1.

2)
Прямая y=x-a имеет одну общую точку с полуокружностью, если a\in (0;2] или если точка A лежит на прямой y=x-a.
В точке A прямая y=x-a является касательной к полуокружности y=\sqrt{x(2-x)}.
Найдем значение параметра a в этой точке геометрическим способом.
РИСУНОК
В треугольнике MNK:\angle K=90^{\circ}; \angle M=\angle N=45^{\circ};
MN=2AK=2. MK=\sqrt{2}.
Тогда значение параметра a для точки A равно 1-\sqrt{2}.
Мы получили, что если a\in (0;2] или a=1-\sqrt{2}, прямая y=x-a пересекает полуокружность в двух точках.
При других a прямая y=x-a не пересекает полуокружность.

3) Уравнение y=\frac{x}{a}+2 задает семейство прямых, проходящих через точку (0;2), с угловым коэффициентом \frac{1}{a}.
Если a> 0, точек пересечения с полуокружностью нет. Если прямая y=\frac{x}{a}+2 проходит через точку B(1;1), она дважды пересекает полуокружность. В этом случае a=-1.
Если a\in (-1;0), прямая y=\frac{x}{a}+2 пересекает полуокружность в одной точке.
Найдем, при каком a прямая y=\frac{x}{a}+2 касается полуокружности в точке C.

РИСУНОК

\bigtriangleup PKC=\bigtriangleup PKO; \angle KPC=\varphi , \textup{tg}\varphi =\frac{1}{2}.
Тогда \alpha =90^{\circ}+2\varphi - вписанный угол треугольника POE, при этом \alpha - угол наклона прямой y=\frac{x}{a}+2 к положительному направлению оси x, \textup{tg}\alpha =\frac{1}{a}. Найдем \textup{tg}\alpha.

\textup{tg}\alpha =\textup{tg}(90^{\circ}+2\varphi )=-\textup{ctg}2\varphi =-\frac{1-\textup{tg}^{2}\varphi }{2\textup{tg}\varphi }=\frac{\textup{tg}^{2}\varphi -1}{2\textup{tg}\varphi }=

=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}.

В точке C a=-\frac{4}{3}.

Если a\in (-\frac{4}{3};-1], прямая y=\frac{x}{a}+2 пересекает полуокружность в двух точках.

Изобразим на оси a промежутки для которых прямые y=x-a и y=\frac{x}{a}+2 имеют с полуокружностью y=\sqrt{x(2-x)} одну и две общих точки.

РИСУНОК

Исходная система имеет ровно 3 решения, если a\in (1-\sqrt{2};0).

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить