Slider

Решение 19 вариант 1

a_{1}...a_{n}; n>3
По условию, a_{k}> \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}
Вспомним, что для арифметической прогрессии
a_{k}= \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}
для нашей последовательности:
a_{k-1}+a_{k+1}<2a_{k}=>a_{k+1}-a_{k}<a_{k}-a_{k-1}
(чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга);
если d_{k}=a_{k+a}-a_{k}, то d_{k}<d_{k-1}<d_{k-2}...
Например, d_{5}<d_{4}<d_{3}<d_{2}<d_{1}.
а) Например, последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.
б) Если разности между k-ым и k-1-ым членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Может ли она стать отрицательной? Это будет означать, что в последовательности а_n есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
в) Найдем S_{min}, если n=8.
Запишем условие d_{7}<d_{6}<...<d_{1}
в виде
d_{7}<d_{6-1}<d_{5-2}<...<d_{1-6};

в общем виде:
d_{k}\leq d_{k-1}-1\leq d_{k-1}-2...<d_{1}-k+1.

Здесь d_{k}=a_{k+1}-a_{k}, отсюда

d_{k-1}\geq d_{k}+1; d_{k-2}\geq d_{k}+2...d_{1}\geq d_{k}+k-1;

Тогда

a_{1}=a_{k}-d_{k-1}-d_{k-2}-...-d_{1}\leq a_{k}-(d_{k}+1)-(d_{k}+2)...-(d_{k}-k+1);

a_{1}\leq a_{k}-(k-1)dk\frac{k(k-1)}{2}

a_{8}=a_{k}+d_{k}+d_{k+1}+ ...+d_{7}\leq

\leq a_{k}+d_{k}+(d_{k}-1)+(d_{k}-2)+...+d_{k}-7+k)

a_{8}\leq a_{k}+(8-k)dk- \frac {(7-k)(8-k)}{2}
Мы получим систему:

Исключим из этой системы dk, оставив a_{k} и k в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на 8-k, а второе на k-1 и сложим их. Получим:

По условию, 2\leq k \leq 7 . Тогда

a_{1} \geq 1; a_{2} \geq 4; a_{3} \geq 6; a_{4} \geq 7; a_{5} \geq 7; a_{6} \geq 6; a_{7} \geq 4; a_{8} \geq 1.
Сумма S\geq 36. Это оценка.
Приведём пример. Последовательность
1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить