Slider

Энергия связи ядра.


Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев.

Темы кодификатора ЕГЭ: энергия связи нуклонов в ядре, ядерные силы.

Атомное ядро, согласно нуклонной модели, состоит из нуклонов - протонов и нейтронов. Но какие силы удерживают нуклоны внутри ядра?

За счёт чего, например, держатся вместе два протона и два нейтрона внутри ядра атома гелия? Ведь протоны, отталкиваясь друг от друга электрическими силами, должны были бы разлететься в разные стороны! Может быть, это гравитационное притяжение нуклонов друг к другу не даёт ядру распасться?

Давайте проверим. Пусть два протона находятся на некотором расстоянии r друг от друга. Найдём отношение силы F_{el} их электрического отталкивания к силе F_{gr} их гравитационного притяжения:

\frac{\displaystyle F_{\displaystyle el}}{\displaystyle F_{\displaystyle gr}}=\frac{\displaystyle ke^{2}/\displaystyle r^{2}}{\displaystyle Gm^{2}/\displaystyle r^{2}}=\frac{\displaystyle ke^{2}}{\displaystyle Gm^{2}}.

Заряд протона e=1.6 \cdot 10^{-19} Кл, масса протона m \approx 1,7 \cdot 10^{-27} кг, поэтому имеем:

\frac{\displaystyle F_{\displaystyle el}}{\displaystyle F_{\displaystyle gr}}=\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1,6^{2}\cdot 10^{-38}}{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,7^{2}\cdot 10^{-54}}\sim 10^{36}.

Какое чудовищное превосходство электрической силы! Гравитационное притяжение протонов не то что не обеспечивает устойчивость ядра - оно вообще не заметно на фоне их взаимного электрического отталкивания.

Следовательно, существуют иные силы притяжения, которые скрепляют нуклоны внутри ядра и превосходят по величине силу электрического отталкивания протонов. Это - так называемые ядерные силы.

Ядерные силы.

До сих пор мы знали два типа взаимодействий в природе - гравитационные и электромагнитные. Ядерные силы служат проявлением нового, третьего по счёту типа взаимодействий - сильного взаимодействия. Мы не будем вдаваться в механизм возникновения ядерных сил, а лишь перечислим их наиболее важные свойства.

1. Ядерные силы действуют между любыми двумя нуклонами: протоном и протоном, протоном и нейтроном, нейтроном и нейтроном.
2. Ядерные силы притяжения протонов внутри ядра примерно в 100 раз превосходят силу электрического отталкивания протонов. Более мощных сил, чем ядерные, в природе не наблюдается.
3. Ядерные силы притяжения являются короткодействующими: радиус их действия составляет около 10^{-15}м. Это и есть размер ядра - именно на таком расстоянии друг от друга нуклоны удерживаются ядерными силами. При увеличении расстояния ядерные силы очень быстро убывают; если расстояние между нуклонами станет равным 2\cdot 10^{-15}м, ядерные силы почти полностью исчезнут.

На расстояниях, меньших 10^{-15}м, ядерные силы становятся силами отталкивания.

Сильное взаимодействие относится к числу фундаментальных - его нельзя объяснить на основе каких-то других типов взаимодействий. Способность к сильным взаимодействиям оказалась свойственной не только протонам и нейтронам, но и некоторым другим элементарным частицам; все такие частицы получили название адронов. Электроны и фотоны к адронам не относятся - они в сильных взаимодействиях не участвуют.

Атомная единица массы.

Массы атомов и элементарных частиц чрезвычайно малы, и измерять их в килограммах неудобно. Поэтому в атомной и ядерной физике часто применяется куда более мелкая единица - так
называемая атомная единица массы (сокращённо а. е. м.).

По определению, атомная единица массы есть 1/12 массы атома углерода _{}^{12}\textrm{C}. Вот её значение с точностью до пяти знаков после запятой в стандартной записи:

1 а. е. м.=1,66054\cdot 10^{-27}кг =1,66054\cdot 10^{-24}г.

(Такая точность нам впоследствии понадобится для вычисления одной очень важной величины, постоянно применяющейся в расчётах энергии ядер и ядерных реакций.)

Оказывается, что 1 а. е. м., выраженная в граммах, численно равна величине, обратной к постоянной Авогадро N_{a}=1,602214\cdot 10^{23} моль^{-1}:

\frac{1}{N_{A}}=\frac{1}{6,02214\cdot 10^{23}}=1,66054\cdot 10^{-24}моль.

Почему так получается? Вспомним, что число Авогадро есть число атомов в 12г углерода. Кроме того, масса m_{C} атома углерода равна 12 а. е. м. Отсюда имеем:

12г=N_{a}m_{C}=N_{A}\cdot 12 а. е. м.,

поэтому N_{A}\cdot 1а. е. м.=1г, что и требовалось.

Как вы помните, любое тело массы m обладает энергией покоя E, которая выражается формулой Эйнштейна:

E=mc^{2}. (1)

Выясним, какая энергия заключена в одной атомной единице массы. Нам надо будет провести вычисления с достаточно высокой точностью, поэтому берём скорость света с пятью знаками после запятой:

c=2,99792\cdot 10^{8} м/с.

Итак, для массы m_{1}=1 а. е. м. имеем соответствующую энергию покоя E_{1}:

E_{1}=m_{1} c^{2}=1,66054 \cdot 10^{-27} \cdot 2,99792^{2} \cdot 10^{16}=1,49241\cdot 10^{-10}Дж. (2)

В случае малых частиц пользоваться джоулями неудобно - по той же причине, что и килограммами. Существует гораздо более мелкая единица измерения энергии - электронвольт (сокращённо эВ).

По определению, 1 эВ есть энергия, приобретаемая электроном при прохождении ускоряющей разности потенциалов 1 вольт:

1 эВ =eV=1,60218\cdot 10^{-19}Кл\cdot 1В=1,60218\cdot 10^{-19} Дж. (3)

(вы помните, что в задачах достаточно использовать величину элементарного заряда в виде e=1,6\cdot 10^{-19} Кл, но здесь нам нужны более точные вычисления).

И вот теперь, наконец, мы готовы вычислить обещанную выше очень важную величину - энергетический эквивалент атомной единицы массы, выраженный в МэВ. Из (2) и (3) получаем:

E_{1}=\frac{1,49241\cdot 10^{-10}}{1,60218\cdot 10^{-19}}=0,93149\cdot 10^{9} эВ =931,5. (4)

Итак, запоминаем: энергия покоя одной а. е. м. равна 931,5 МэВ. Этот факт вам неоднократно встретится при решении задач.

В дальнейшем нам понадобятся массы и энергии покоя протона, нейтрона и электрона. Приведём их с точностью, достаточной для решения задач.

m_{p}=1,00728 а. е. м., E_{p}=938,3МэВ;
m_{n}=1,00867 а. е. м., E_{n}=939,6МэВ;
m_{e}=5,468\cdot 10^{-4} а. е. м., E_{e}=0,511МэВ.

Дефект массы и энергия связи.

Мы привыкли, что масса тела равна сумме масс частей, из которых оно состоит. В ядерной физике от этой простой мысли приходится отвыкать.

Давайте начнём с примера и возьмём хорошо знакомую нам \alpha-частицу ядро _{2}^{4}\textrm{He}. В таблице (например, в задачнике Рымкевича) имеется значение массы нейтрального атома гелия: она равна 4,00260 а. е. м. Для нахождения массы M ядра гелия нужно из массы нейтрального атома вычесть массу двух электронов, находящихся в атоме:

M=4,00260-2\cdot 0,0005486=4,00150а. е. м.

В то же время, суммарная масса двух протонов и двух нейтронов, из которых состоит ядро гелия, равна:

2m_{p}+2m_{n}=2 \cdot 1,00728+2 \cdot 1,00867=4,03190а. е. м.

Мы видим, что сумма масс нуклонов, составляющих ядро, превышает массу ядра на

\Delta m= 2m_{p}+2m_{n}-M=4,03190-4,00150=0,0304а. е. м.

Величина \Delta m называется дефектом массы. В силу формулы Эйнштейна (1) дефекту массы отвечает изменение энергии:

\Delta E=\Delta mc^{2}=0,0304\cdot 931,5\approx 28МэВ:

Величина \Delta E обозначается также E_{CB} и называется энергией связи ядра _{2}^{4}\textrm{He}. Таким образом, энергия связи \alpha-частицы составляет приблизительно 28 МэВ.

Каков же физический смысл энергии связи (и, стало быть, дефекта масс)?

Чтобы расщепить ядро на составляющие его протоны и нейтроны, нужно совершить работу против действия ядерных сил. Эта работа не меньше определённой величины A_{min}; минимальная работа A_{min} по разрушению ядра совершается в случае, когда высвободившиеся протоны и нейтроны покоятся.

Ну а если над системой совершается работа, то энергия системы возрастает на величину совершённой работы. Поэтому суммарная энергия покоя нуклонов, составляющих ядро и взятых по отдельности, оказывается больше энергии покоя ядра на величину A_{min}.

Следовательно, и суммарная масса нуклонов, из которых состоит ядро, будет больше массы самого ядра. Вот почему возникает дефект массы.

В нашем примере с \alpha-частицей суммарная энергия покоя двух протонов и двух нейтронов больше энергии покоя ядра гелия на 28 МэВ. Это значит, что для расщепления ядра _{2}^{4}\textrm{He} на составляющие его нуклоны нужно совершить работу, равную как минимум 28 МэВ. Эту величину мы и назвали энергией связи ядра.

Итак, энергия связи ядра - это минимальная работа, которую необходимо совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны.

Энергия связи ядра есть разность энергий покоя нуклонов ядра, взятых по отдельности, и энергии покоя самого ядра. Если ядро массы M состоит из Z протонов и N нейтронов, то для энергии связи E_{CB} имеем:

E_{CB}=(Zm_{p}+Nm_{n})c^{2}-Mc^{2}=(Zm_{p}+Nm_{n}-M)c^{2}.

Величина \Delta m=Zm_{p}+Nm_{n}-M, как мы уже знаем, называется дефектом массы.

Удельная энергия связи.

Важной характеристикой прочности ядра является его удельная энергия связи, равная отношению энергии связи к числу нуклонов:

\varepsilon =\frac{E_{CB}}{A}.

Удельная энергия связи есть энергия связи, приходящаяся на один нуклон, и имеет смысл средней работы, которую необходимо совершить для удаления нуклона из ядра.

На рис. 1 представлена зависимость удельной энергии связи естественных (то есть встречающихся в природе 1) изотопов химических элементов от массового числа A.

Рис. 1. Удельная энергия связи естественных изотопов

Элементы с массовыми числами 210–231, 233, 236, 237 в естественных условиях не встречаются. Этим объясняются пробелы в конце графика.

У лёгких элементов удельная энергия связи возрастает с ростом A, достигая максимального значения 8,8 МэВ/нуклон в окрестности железа _{26}^{56}\textrm{Fe} (то есть в диапазоне изменения A примерно от 50 до 65). Затем она плавно убывает до величины 7,6 МэВ/нуклон у урана _{92}^{238}\textrm{U}.

Такой характер зависимости удельной энергии связи от числа нуклонов объясняется совместным действием двух разнонаправленных факторов.

Первый фактор - поверхностные эффекты. Если нуклонов в ядре мало, то значительная их часть находится на поверхности ядра. Эти поверхностные нуклоны окружены меньшим числом соседей, чем внутренние нуклоны, и, соответственно, взаимодействуют с меньшим числом соседних нуклонов. При увеличении A доля внутренних нуклонов растёт, а доля поверхностных нуклонов - падает; поэтому работа, которую нужно совершить для удаления одного нуклона из ядра, в среднем должна увеличиваться с ростом A.

Однако с возрастанием числа нуклонов начинает проявляться второй фактор - кулоновское отталкивание протонов. Ведь чем больше протонов в ядре, тем большие электрические силы отталкивания стремятся разорвать ядро; иными словами, тем сильнее каждый протон отталкивается от остальных протонов. Поэтому работа, необходимая для удаления нуклона из ядра, в среднем должна уменьшаться с ростом A.

Пока нуклонов мало, первый фактор доминирует над вторым, и потому удельная энергия связи возрастает.

В окрестности железа (50\leqslant A\leqslant 65) действия обоих факторов сравниваются друг с другом, в результате чего удельная энергия связи выходит на максимум. Это область наиболее устойчивых, прочных ядер.

Затем второй фактор начинает перевешивать, и под действием всё возрастающих сил кулоновского отталкивания, распирающих ядро, удельная энергия связи убывает.

Насыщение ядерных сил.

Тот факт, что второй фактор доминирует у тяжёлых ядер, говорит об одной интересной особенности ядерных сил: они обладают свойством насыщения. Это означает, что каждый нуклон в большом ядре связан ядерными силами не со всеми остальными нуклонами, а лишь с небольшим числом своих соседей, и число это не зависит от размеров ядра.

Действительно, если бы такого насыщения не было, удельная энергия связи продолжала бы возрастать с увеличением A - ведь тогда каждый нуклон скреплялся бы ядерными силами со всё большим числом нуклонов ядра, так что первый фактор неизменно доминировал бы над вторым. У кулоновских сил отталкивания не было бы никаких шансов переломить ситуацию в свою пользу!

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить