Slider

Равномерное прямолинейное движение.

 

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость.

Равномерное прямолинейное движение материальной точки - это движение с постоянной скоростью \vec{v}. Обратите внимание, что речь идёт о постоянстве вектора скорости; это значит, что скорость неизменна как по модулю, так и по направлению.

Траекторией тела при равномерном прямолинейном движении служит прямая (или часть прямой - например, отрезок или луч). Вдоль данной прямой тело движется равномерно, то есть с постоянной по модулю скоростью.

 

Закон движения.

Предположим, что тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью \vec{v}, переместилось за время t из точки M_{0} в точку M (рис. 1). Вектор перемещения есть \vec{s}=\overrightarrow{M_{0}M}.

Рис. 1. Равномерное прямолинейное движение

 

Путь, пройденный телом, равен длине s вектора перемещения. Очевидно, что выполнено соотношение:

s=vt,, (1)

где v - модуль вектора скорости.

Формула (1) справедлива для любого равномерного движения (не обязательно прямолинейного). Но в случае прямолинейного равномерного движения эта формула становится соотношением между векторами. В самом деле, поскольку векторы \vec{s} и \vec{v} сонаправлены, формула (1) позволяет записать:
\vec{s}=\vec{v}t. (2)
Как обычно, движение тела рассматривается в некоторой системе отсчёта, связанной с телом отсчёта O (рис. (1); координатные оси не изображаем). Пусть \vec{r_{0}} - радиус-вектор начальной точки M_{0} и \vec{r} - радиус-вектор конечной точки M. Тогда, очевидно,
\vec{s}=\vec{r}-\vec{r_{0}}. Подставим эту разность в формулу (2):

\vec{r}-\vec{r_{0}}=\vec{v}t.

Отсюда получаем закон движения, то есть зависимость радиус-вектора тела от времени:

\vec{r}=\vec{r_{0}}+\vec{v}t. (3)

Закон движения решает основную задачу механики, то есть позволяет найти зависимость координат тела от времени. Делается это просто.

Координаты точки M_{0} обозначим (x_{0},y_{0},z_{0}). Они же являются координатами вектора \vec{r_{0}}. Координаты точки M (и вектора \vec{r}) обозначим (x, y, z). Тогда векторная формула (3) приводит к трём координатным соотношениям:

\displaystyle x=\displaystyle x_{0}+\displaystyle v_{\displaystyle x}\displaystyle t, (4)

y=y_{0}+v_{\displaystyle y}t, (5)

z=z_{0}+v_{\displaystyle z}t. (6)

Формулы (4)-(6) представляют координаты тела как функции времени и потому служат решением основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения.

 

Интегрирование.

 

Ключевая формула (3), описывающая равномерное прямолинейное движение, может быть получена из несколько иных соображений. Вспомним, что производная радиус-вектора есть скорость точки:

\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec{v}. (7)

В случае равномерного прямолинейного движения имеем \vec{v}=const. Что нужно продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор \vec{v}? Очевидно, функцию \vec{v}t. Но не только: к величине \vec{v}t можно прибавить любой постоянный вектор \vec{c} (это не изменит производную, поскольку производная константы равна нулю). Таким образом:

\vec{r}=\vec{c}+\vec{v}t. (8)

Каков смысл константы \vec{c}? Если t=0, то радиус-вектор \vec{r} равен своему начальному значению \vec{r_{0}}. Поэтому, полагая t=0 в формуле (8), получим:

\vec{r_{0}}=\vec{c}.

Итак, вектор \vec{c} есть начальное значение радиус-вектора, и теперь из (8) мы снова приходим к формуле (3):

\vec{r}=\vec{r_{0}}+\vec{v}t.

Мы, таким образом, проинтегрировали равенство (7) при условии, что \vec{v}=const. Интегрирование - это операция, обратная дифференцированию. Интегрировать в физике приходится на каждом шагу, так что привыкайте :-)

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить