Slider

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Квадрат и его свойства

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: S=a^2.
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на \sqrt{2}, то есть
d=\sqrt{2} \cdot a.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна \sqrt{8}.

Мы знаем, что d=\sqrt{2} \cdot a. Тогда a=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle d}{\displaystyle \sqrt{2}}= 2.

2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной \sqrt{8}.

Рисунок к задаче 2

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: 2.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Рисунок к задаче 3

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 8.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABC \mkern -3mu D, считая стороны квадратных клеток равными \sqrt{2}.

Рисунок к задаче 4

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 2.

5. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABC \mkern -3mu D. В ответе укажите
r \sqrt{10}.

Рисунок к задаче 5

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABC \mkern -3mu D — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB. Она равна \sqrt{10}. Тогда радиус вписанной окружности равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{10}}{\displaystyle 2} . В ответ запишем r \sqrt{10}.

Ответ: 5.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить