Slider

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Параллелограмм

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Рисунок 1

Пусть B \mkern -3mu M и C \mkern -3mu K — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне B \mkern -1mu C. Сумма углов ABC и B \mkern -1mu C \mkern -2mu D равна 180^{\circ}. Углы O \mkern -3mu BC и OC \mkern -3mu B — половинки углов ABC и B \mkern -1mu C \mkern -2mu D. Значит, сумма углов ABC и B \mkern -1mu C \mkern -2mu D равна 90 градусов. Из треугольника BO \mkern -1mu C находим, что угол BO \mkern -1mu C — прямой.
Ответ: 90.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Рисунок 2

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы D \mkern -2mu AE и B \mkern -2mu E \mkern -2mu A, а также C \mkern -3mu E \mkern -2mu D и A \mkern -2mu D \mkern -2mu E — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол D \mkern -2mu AE равен углу B \mkern -2mu E \mkern -2mu A, а угол C \mkern -3mu E \mkern -2mu D — углу A \mkern -2mu D \mkern -2mu E.
Получаем, что треугольники A \mkern -2mu B \mkern -2mu E и C \mkern -2mu D \mkern -2mu E — равнобедренные, то есть B \mkern -2mu E=AB, а EC=C \mkern -3mu D. Тогда BC = 5+5=10.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

S=a \cdot h, где a — основание параллелограмма, h — его высота.
S=a \cdot b \cdot \sin \varphi, где a и b — стороны параллелограмма, \varphi — угол между ними.

И еще одна формула.

S=d1 \cdot d2  \cdot \sin \alpha, где d1 и d2 — диагонали параллелограмма, \alpha — угол между ними.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить