Slider

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180^{\circ}.

Смежные углы

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине B — это угол, смежный с углом \alpha. Если угол \alpha острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Внешний угол треугольника
Обратите внимание, что:

\sin \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = \sin \alpha
\cos \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = - \cos \alpha
tg \, \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = - \, tg \, \alpha

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, \cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{17}} . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Внешний угол прямоугольного треугольника

Пусть \varphi — внешний угол при вершине A.

\cos \varphi = - \cos A = - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{17}}

Зная \cos \varphi, найдем tg \, \varphi по формуле

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos^2 \varphi}= 1 + tg^2 \, \varphi

Получим: tg \, \varphi= - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = - 0,25

2. В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, \cos A = 0,1. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов A и B равна 90^{\circ}, \sin B = \cos A = 0,1. Тогда и синус внешнего угла при вершине B также равен 0,1.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить