Slider

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника — AC \mkern -3mu H и C \mkern -3mu H \mkern -3mu B. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90^{\circ}. Значит, \angle AC \mkern -3mu H=90^{\circ}-\angle C \mkern -3mu AH, то есть угол AC \mkern -3mu H равен углу ABC. Аналогично, угол C \mkern -3mu AB равен углу H \mkern -3mu C \mkern -3mu B.

Иными словами, каждый из трех углов треугольника ABC равен одному из углов треугольника AC \mkern -3mu H (и треугольника BC \mkern -3mu H). Треугольники ABC, AC \mkern -3mu H и BC \mkern -3mu H называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Подобные треугольники

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники AC \mkern -3mu H и ABC. Стороны треугольника ABC длиннее, чем стороны треугольника AC \mkern -3mu H в k раз:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle A \mkern -3mu H} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle C \mkern -3mu H} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников ABC, AC \mkern -3mu H и BC \mkern -3mu H, а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника ABC можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, C \mkern -3mu H — высота, BC=3, \cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}. Найдите A \mkern -3mu H.

треугольник ABC

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем \sin A:

\sin^2 A + \cos^2 A = 1
\sin^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1
\sin^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36}
\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18

Рассмотрим прямоугольный треугольник BC \mkern -3mu H, \angle H = 90^{\circ}. Поскольку \angle H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = \angle  A

\sin H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = H \mkern -3mu B : BC

Отсюда H \mkern -3mu B=BC \cdot \sin HC \mkern -3mu B = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5

A \mkern -3mu H = A \mkern -3mu B - H \mkern -3mu B=18-0,5=17,5

Ответ: 16.

2. В треугольнике A \mkern -3mu BC угол C равен 90^{\circ}, AC=8, \sin A = 0,5. Найдите высоту C \mkern -3mu H.

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник AC \mkern -3mu H.

Ответ: 4.

3. В треугольнике A \mkern -3mu BC угол C равен 90^{\circ}, AB=13, tg \, A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}. К гипотенузе проведена высота C \mkern -3mu H. Найдите A \mkern -3mu H.

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Зато можно записать теорему Пифагора: a^2 + b^2 = 13^2.

Нам известно также, что:

tg \, A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

a = \sqrt{6,5}:b=5\sqrt{6,5}

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch

и найдем C \mkern -3mu H = 2,5.

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить