Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки $A$ на отрезок $BC$ , зато можем опустить его на прямую $BC$ — то есть на продолжение стороны $BC$ .

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении $2:1$ , считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу $C4$ . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника $ABC$ (в котором угол $C$ равен $90^{\circ}$ ) пересекаются в точке $M$ .

Рассмотрим треугольник $ABM$ .

$\angle M \mkern -4mu AB=0,5 \angle B \mkern -2mu AC$ ,

$\angle AB \mkern -2mu M=0,5 \angle ABC$ , тогда $\angle AM \mkern -3mu B=180^{\circ} - \angle M \mkern -3mu AB - \angle AB \mkern -3mu M = 180^{\circ} - 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right)$

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен $\varphi$ .

Угол $\varphi$ смежный с углом $AM \mkern -3mu B$ , следовательно, $\varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right)$ .

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, то $\angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC = 90^{\circ}$ .

Тогда $\varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right) = 90^{\circ}:2=45^{\circ}$ .

Ответ: $45$ .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны $29^{\circ}$ и $61^{\circ}$ . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть $C \mkern -2mu H$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ , $CK$ — биссектриса угла $C$ .

Тогда $\angle AC \mkern -3mu H = \angle ABC = 61^{\circ}$

$\angle AC \mkern -3mu K = 90^{\circ}:2=45^{\circ}$ .

Угол между высотой и биссектрисой — это угол $\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H$ .

$\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H = \angle A \mkern -1mu C \mkern -2mu H - \angle AC \mkern -3mu K = 61^{\circ}-45^{\circ}=16^{\circ}$

Ответ: $16$ .

3. Два угла треугольника равны $58^{\circ}$ и $72^{\circ}$ . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника $A \mkern -2mu C \mkern -2mu H$ (угол $H$ — прямой) найдем угол $C \mkern -2mu AH$ . Он равен $18^{\circ}$ .

Из треугольника $AC \mkern -2mu K$ ( $K$ — прямой) найдем угол $AC \mkern -2mu K$ . Он равен $32^{\circ}$ .

В треугольнике $AO \mkern -2mu C$ известны два угла. Найдем третий, то есть угол $AO \mkern -2mu C$ , который и является тупым углом между высотами треугольника $ABC$ :

$AO \mkern -2mu C = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 32^{\circ} = 130^{\circ}$ .

Ответ: $130$ .

4. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $58^{\circ}$ , $A \mkern -2mu D$ и $B \mkern -2mu E$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$ . Найдите угол $AO \mkern -2mu B$ . Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $B \mkern -3mu AC$ равен $A$ , угол $ABC$ равен $B$ .

Рассмотрим треугольник $AO \mkern -2mu B$ .

$\angle O \mkern -2mu AB = \angle A$

$\angle ABO = \angle B$ , тогда $\angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right)$ .

Из треугольника $ABC$ получим, что $\angle A + \angle B = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$ .

Тогда $\angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right) = 180^{\circ}-61^{\circ}= 119^{\circ}$ .

Ответ: $119^{\circ}$ .

5. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$ , угол $B$ равен $82^{\circ}$ . $A \mkern -2mu D$ , $B \mkern -2mu D$ и $C \mkern -2mu F$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$ . Найдите угол $AO \mkern -3mu F$ . Ответ дайте в градусах.

Найдем угол $AC \mkern -3mu B$ . Он равен $38^{\circ}$ .

Тогда $\angle AC \mkern -3mu F = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}$ .

Из треугольника $AC \mkern -3mu F$ найдем угол $\angle AF \mkern -2mu C = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}$ . Он равен $101^{\circ}$ .

Рассмотрим треугольник $AO \mkern -3mu F$ .

$\angle AF \mkern -2mu O = 101^{\circ}$ , $\angle F \mkern -3mu AO = \angle B \mkern -3mu AC = 30^{\circ}$ . Значит $\angle AO \mkern -3mu F = 49^{\circ}$

Ответ: $49$ .

6. В треугольнике $ABC$ , $C \mkern -2mu D$ — медиана, угол $AC \mkern -3mu B$ равен $90^{\circ}$ , угол $B$ равен $58^{\circ}$ . Найдите угол $AC \mkern -3mu D$ . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: $22$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше