ЕГЭ-пробный

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высоты, медианы, биссектрисы треугольника

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Высота в треугольнике

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

Высота в тупоугольном треугольнике

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

Высоты в тупоугольном треугольнике

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство медианы

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу C4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Свойство биссектрисы

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Пусть биссектрисы треугольника ABC (в котором угол C равен 90^{\circ}) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

\angle M \mkern -4mu AB=0,5 \angle B \mkern -2mu AC,

\angle AB \mkern -2mu M=0,5 \angle ABC, тогда \angle AM \mkern -3mu B=180^{\circ} - \angle M \mkern -3mu AB - \angle AB \mkern -3mu M = 180^{\circ} - 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right)

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен \varphi.

Угол \varphi смежный с углом AM \mkern -3mu B, следовательно, \varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right).

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC = 90^{\circ}.

Тогда \varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right) = 90^{\circ}:2=45^{\circ}.

Ответ: 45.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^{\circ} и 61^{\circ}. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Пусть C \mkern -2mu H — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда \angle AC \mkern -3mu H = \angle ABC = 61^{\circ}

\angle AC \mkern -3mu K = 90^{\circ}:2=45^{\circ}.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол \angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H.

\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H = \angle A \mkern -1mu C \mkern -2mu H - \angle AC \mkern -3mu K = 61^{\circ}-45^{\circ}=16^{\circ}

Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58^{\circ} и 72^{\circ}. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Из треугольника A \mkern -2mu C \mkern -2mu H (угол H — прямой) найдем угол C \mkern -2mu AH. Он равен 18^{\circ}.

Из треугольника AC \mkern -2mu K (K — прямой) найдем угол AC \mkern -2mu K. Он равен 32^{\circ}.

В треугольнике AO \mkern -2mu C известны два угла. Найдем третий, то есть угол AO \mkern -2mu C, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

AO \mkern -2mu C = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 32^{\circ} = 130^{\circ}.

Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58^{\circ}, A \mkern -2mu D и B \mkern -2mu E — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AO \mkern -2mu B. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 4

Пусть в треугольнике ABC угол B \mkern -3mu AC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AO \mkern -2mu B.

\angle O \mkern -2mu AB = \angle A

\angle ABO = \angle B, тогда \angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right).

Из треугольника ABC получим, что \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}.

Тогда \angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right) = 180^{\circ}-61^{\circ}= 119^{\circ}.

Ответ: 119^{\circ}.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60^{\circ}, угол B равен 82^{\circ}. A \mkern -2mu D, B \mkern -2mu D и C \mkern -2mu F — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AO \mkern -3mu F. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 5

Найдем угол AC \mkern -3mu B. Он равен 38^{\circ}.

Тогда \angle AC \mkern -3mu F = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}.

Из треугольника AC \mkern -3mu F найдем угол \angle AF \mkern -2mu C = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}. Он равен 101^{\circ}.

Рассмотрим треугольник AO \mkern -3mu F.

\angle AF \mkern -2mu O = 101^{\circ}, \angle F \mkern -3mu AO = \angle B \mkern -3mu AC = 30^{\circ}. Значит \angle AO \mkern -3mu F = 49^{\circ}

Ответ: 49.

6. В треугольнике ABC, C \mkern -2mu D — медиана, угол AC \mkern -3mu B равен 90^{\circ}, угол B равен 58^{\circ}. Найдите угол AC \mkern -3mu D. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить