Slider

Маттренинги Вариант 1

1. Авторская задача.Наполеон Бонапарт ростом был невысок – всего 5 футов и 2 дюйма, согласно историческим данным. Выразите рост Наполеона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Ответ: 158.

Решение:

Переведем футы и дюймы в сантиметры. Рост Наполеона равен 30,5\cdot 5 + 2,54\cdot 2 = 157,58 см \approx 158 см.

 

Какой ответ у вас? Если получилось 6 или 20 сантиметров – вспомните, что Наполеон Бонапарт был выдающимся полководцем, а не хомячком или ёжиком!

2. Авторская задача. На графике показано среднее количество осадков в Москве в течение года, в мм. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода выпадало от 44 до 66 миллиметров осадков.


 

Ответ: 3.

Решение: Согласно диаграмме, май, июнь и сентябрь – три месяца, когда выпадало от 44 до 66 миллиметров осадков.

3. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­жен угол. Най­ди­те косинус этого угла.

Ответ: - 0,6.

Решение: Найдем косинус угла, смежного с данным, достроив на чертеже прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4 клеткам.

4. Авторская задача. Мини-пекарня продает пирожки с мясом, однако в среднем 2 пирожка из 10 оказываются без мяса. Покупатель купил 2 пирожка. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы в одном из них найдется мясо.

Ответ: 0,96.

Решение:

По условию, пекарня работает так, что каждый пирожок может случайным образом оказаться с мясом (с вероятностью 4/5) или ни с чем (и вероятность этого события 1/5).

Нарисуем схему возможных исходов:

Благоприятные исходы в этой задаче – когда мясо будет только в первом пирожке, только во втором или в обоих. Не подходит только случай, когда оба пирожка окажутся без начинки. Вероятность этого исхода  0,2 \cdot  0,2 = 0,04. Тогда нужная нам вероятность равна 1-0,04 = 0,96.

5. Найдите корень уравнения \displaystyle (\frac{1}{9})^{x-13}=3

Ответ: 12,5.

Решение:

\displaystyle (\frac{1}{9})^{x-13}=3

\displaystyle (3^{-2})^{x-13}=3

\displaystyle (3^{-2})^{-2x+26}=3^1

-2x+26=1

x=12,5

6. Авторская задача. Биссектрисы смежных углов параллелограмма АВСD пересекают сторону ВС в точке Е. Найдите угол АЕD. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 90.

Решение:

Углы АDC и ВАD – односторонние, их сумма равна 180°. Тогда сумма углов ЕАD и ЕDA в два раза меньше, то есть 90° (биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны). Значит, угол АЕD равен 90°.

7. Прямая y=-3x+8 параллельна касательной к графику функции y-x^2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -5.

Решение:

Если прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент касательной равен -3, и он равен также производной в точке касания.

Пусть x_0 – точка касания.

y

8. Авторская задача. Черепашка Грета живет в «ЕГЭ-Студии» с сентября прошлого года. За это время все линейные размеры Греты увеличились в 4 раза. Считая, что масса черепашки пропорциональна ее объему, определите, во сколько раз по сравнению с сентябрем прошлого года выросла масса Греты.

Ответ: 64.

Решение:

Вспомним, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Все линейные размеры Греты увеличились в 4 раза – значит, ее объем и масса увеличились в 4^3=64 раза.

9. Найдите значение выражения \log_{a}(a^2b^3) , если \log_{a}b = 5 и a = 7.

 

Ответ: 17.

Решение:

\log_{a}(a^2b^3)=log_aa^2+log_ab^3=log_aa^2+3log_ab=log_77^2+3\cdot5=

=2+15=17

10. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \rho V^a=const , где \rho (Па) – давление в газе, V – объём газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Ответ: 2.

Решение:

Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами – давлением, объемом, температурой. По условию задачи,  газ переходит из одного состояния в другое так, что \rho V^a=const

\rho_1 V_1^a=\rho_2 V_2^a

\displaystyle \frac{\rho _1}{\rho _2}=(\displaystyle \frac{V_2}{V_1})^{a}

Объем уменьшился вдвое, то есть \frac{V_1}{V_2}=2.

Поскольку \displaystyle \frac{\rho _1}{\rho _2}\geq 4 , получим, что 2^\alpha  \geq 4;~ \alpha\geq 2 .

Наименьшее значение α = 2 записываем в ответ.

11. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 22.

Решение:

Поскольку плот движется со скоростью течения, равной 2 км/ч, он пройдет 24 километра за 12 часов. Яхта отправилась от пристани А на 1 час позже плота. Значит, к тому времени, как плот прошел 24 километра, яхта находилась в пути 11 часов. За это время яхта прошла 120 километров по течению и 120 – против.

Запишем в таблицу скорость, время и расстояние для яхты и составим уравнение.

v t S
По течению x+2 \frac{120}{x+2} 120
Против течения x-2 \frac{120}{x-2} 120

 

\displaystyle \frac{120}{x+2}+\displaystyle \frac{120}{x-2}=11.

Можно решать это уравнение так, как мы привыкли – приводить дроби к одному знаменателю и получать квадратное уравнение. А можно предположить, что у уравнения есть целый положительный корень, и подобрать его.

Заметим, что 120:20 = 6;~ ~ 120: 24 = 5;~~ 6+5 = 11.

Если x=22, то x+2 = 24, x-2 = 20, мы получим верное равенство.

12. Найдите точку минимума функции y=(x+16)e^{x-16}

Ответ: -17.

Решение:

Возьмем производную функции

y_{(x)}=(x+16)e^{x-16} по формуле производной произведения.
(u\cdot v)^\prime=u^\prime \cdot v+v^\prime \cdot u

y^\prime_{(x)}=e^{x-16}+(x+16)\cdot e^{x-16}=(x+17)\cdot e^{x-16}.

y^\prime =0 при x=-17.

Поскольку e^{x-16}>0 всегда,

при x<-17~~y^\prime<0, а при x>-17~~y^\prime>0.

Значит, x=-17 точка минимума функции y(x)

13. а) Решите уравнение 2sin(\pi +x)\cdot sin(\frac{\pi }{2}+x)=sinx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi ;\frac{9\pi }{2}].

Ответ: а) x=\pi n, n\in Z

б)3\pi;4\pi .

Решение:

а) 2sin(\pi+x)\cdot sin(\frac{\pi}{2}+x)=sin x

Применим формулы приведения:

-2\sin x \cos x =\sin x \Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow \sin x (1+\cos x)=0 \Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow \left[       \begin{gathered}         \sin x = 0; \\        \cos x=-1. \\       \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow x=\pi n, n\in Z

б) Отберём корни с помощью тригногонометрического круга.

Отметим на тригонометическом круге отрезок [3\pi; \frac{9\pi}{2}] и серию решений x=\pi n, n\in Z.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки x=3\pi;~~x=4\pi .

14. Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под углом 45°.

а) Докажите, что апофема SM грани SCD перпендикулярна боковому ребру AS.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SDC, если АВ = 5.

Ответ: б)\displaystyle  \frac{5}{\sqrt{2}} .

Решение:

а) Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенным в этих плоскостях.

(SDC)⋂(ABC)=DC;

SM - апофема грани SDC; SM⊥DC;

проведём NM⊥DC в плоскости АВС;

NM∥AD, т.к. пирамида - правильная,

N - середина АВ.

Тогда угол NMS - это угол между плоскостями (SDC) и (АВС); ∠NMS=45°.

SM=SN, △SMN - равнобедренный,

значит, ∠NSM=90°.

Поскольку AB∥DC, SM⊥AB.

т.к. ∠NSM=90°, SM⊥SN.

Следовательно, SM⊥(ASB).

поскольку AS∈(ASB), получим, что SM⊥AS.

б) Найдём расстояние от точки А до плоскости SDC.

Точка А лежит на прямой АВ, параллельной плоскости SDC (т.к. AB∥DC).

Расстояние от точки А до плоскости SDC равно расстоянию от любой точки прямой АВ до плоскости SDC.

Возьмём точку N - середину АВ.

NS⊥SM (см. пункт (а)),

NS⊥DC т.к. NS∈(NSM), (NSM⊥DC).

Значит, (NM⊥SDC).

Длина NS - это расстояние от точки N до плоскости SDC, и оно равно расстоянию от А до SDC.

Поскольку АВ = NM = 5 и треугольник NSM - прямоугольный, NS = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}

15. Решите неравенство: \displaystyle  \frac{8\cdot 7^x-4^{x\log_{2}7}-11}{(2x-1)^2}\geq 0.

Ответ: [\log_{7}(4-\sqrt{5}); \frac{1}{2})\cup ( \frac{1}{2}; \log_{7}(4+\sqrt{5}].

\displaystyle  \frac{8\cdot 7^x-4^{x\log_{2}7}-11}{(2x-1)^2}\geq 0.

Упростим выражение 4^{xlog_27}

4^{xlog_27}=(4^{log_27})^x=(2^{2log_27})^x=(2^{log_27})^{2x}=7^{2x}.

\displaystyle  \frac{8\cdot 7^x-7^{2x}-11}{(2x-1)^2}\geq 0.

Разложим числитель на множители:

8\cdot 7^x-7^{2x}-11=

8\cdot 7^x-7^{2x}-11==-(7^x-(4-\sqrt{5})(7^x-(4+\sqrt{5})

7^x=t;

8t-t^2-11=0;

t^2-8t+11=0;

D=64-44=40;

t=\frac{8\pm\sqrt{40}}{2}=4\pm \sqrt{5}

t_1=4- \sqrt{5}; t_2=4+ \sqrt{5}

\left[       \begin{gathered}        7^x= 4- \sqrt{5};\\           7^x= 4+ \sqrt{5} \\       \end{gathered} \right.

Мы воспользовались тем, что

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), где x_1 и x_2 - корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.

Неравенство примет вид:

-\displaystyle \frac{(7^x-(4-\sqrt{5}))(7^x-(4+\sqrt{5}))}{(2x-1)^2}\leq0\Leftrightarrow

-\displaystyle \frac{(7^x-7^{log_74-\sqrt{5}})(7^x-7^{log_74+\sqrt{5}})}{(2x-1)^2}\leq0\Leftrightarrow

\begin{cases}x\neq\frac{1}{2}\\ (7^x-7^{log_74-\sqrt{5}})(7^x-7^{log_74+\sqrt{5}})\leq0. \end{cases}.

Мы сделали так, потому что при x\neq \frac{1}{2} знаменатель положителен.

Применим метод замены множителя.

Множитель h^f-h^q заменим на (h-1)(f-g).

Получим:

\begin{cases}x\neq\frac{1}{2};\\(x-log_7(4-\sqrt{5}))(x-log_7(4+\sqrt{5})) \leq0& \end{cases}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq\frac{1}{2};\\log_7(4-\sqrt{5})\leq x\leq log_7(4+\sqrt{5}) & \end{cases}

Как сравнить \frac{1}{2} и log_7(4-\sqrt{5})?

\frac{1}{2}\vee log_7(4-\sqrt{5})

log_7\sqrt{7}\vee log_7(4-\sqrt{5})

\sqrt{7}\vee 4-\sqrt{5}

\sqrt{7}+\sqrt{5} \vee 4

Поскольку \sqrt{7}>2, ~~ \sqrt{5}>2?~~\sqrt{7}+\sqrt{5}>4 и \frac{1}{2}> log_7(4-\sqrt{5}).

Сравним \frac{1}{2} и log_7(4+\sqrt{5}).

log_7\sqrt{7}\vee log_7(4+\sqrt{5})

\sqrt{7}\vee 4+\sqrt{5}

Очевидно, \sqrt{7}< 4+\sqrt{5}, т.к. \sqrt{7}< 4. Значит

\frac{1}{2}<log_7(4+\sqrt{5}).

Запишем ответ:

[\log_{7}(4-\sqrt{5}); \frac{1}{2})\cup ( \frac{1}{2}; \log_{7}(4+\sqrt{5}]

16. Периметр прямоугольного треугольника АВС равен 72.

а) Докажите, что радиус R окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен его медиане, проведенной к гипотенузе АВ.

б) Найдите высоту СН, если она на 7 меньше, чем R.

Ответ: б) 9.

Решение:

а) Первый пункт – стандартное доказательство из учебника геометрии для 7 класса. Проведите через вершину А прямую m, параллельную стороне ВС, а через вершину В – прямую р, параллельную АС. Пусть К – точка пересечения прямых m и р. АСВК – параллелограмм, в котором есть прямой угол С, то есть АСВК – прямоугольник. М – середина АВ – является также серединой диагонали СК, поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, CM=AM=BM.

б) Обозначим CH=x. Тогда CM=x+7.

Пусть а и b – катеты треугольника АВС, а с – его гипотенуза; c = 2(x+7).

Получим систему уравнений:

\begin{cases} a^2+b^2=(2(x+7))^2&\\a+b+2(x+7)=72 &\\ 2x(x+7)=ab& \end{cases}

(теорема Пифагора для △АВС)

(периметр треугольника АВС равен 72)

(т.к. S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=\frac{c\cdot x}{2} )

Вспомним формулу (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

Из первого и третьего уравнений:

(a+b)^2=4(x+7)^2+4x(x+7).

Из второго уравнения : (a+b)^2=4\cdot(29-x)^2.

Получим уравнение для х:

(29-x)^2-(x+7)^2=x(x+7)

x^2+79x-792=0

D=79^2+4\cdot 792=6241+3168=9409; ~~ \sqrt{D}=97;

x_1=88 - не подходит по условию задачи, т.к. если x=88, то c=2(88+7)=190>72,

P_{\triangle ABC}=72.

x_2=9. Это ответ.

17. Артем планирует в сентябре взять кредит на сумму 4 миллиона 100 тысяч рублей под 25 процентов годовых. Условия возврата кредита:
— каждый январь долг возрастает на 25 % по с равнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Ответ: 1250000.

Решение:

Пусть S=4100 (тыс. рублей) - сумма кредита; p=25% годовых - процент, начисляемый банком.

После начисления процентов сумма долга возрастает в k=1+\frac{p}{100}=1,25=\frac{5}{4} раза.

В условии дана информация о платежах. Схема погашения кредита:

(((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-X=0 ~~(1)

если кредит выплечен четырьмя равными платежами x.

(Sk-Y)\cdot k-Y=0~~(2) - если кредит выплачен двумя равными платежами Y.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые в уравнении 1:

Sk^4-X(k^3+k^2+k+1)=0

Sk^4-X(k^2+1)(k+1)=0

X=\frac{Sk^4}{(k^2+1)(k+1)}.

Из уравнения (2)

SK^4-Y(k+1)=0

Y=\frac{Sk^2}{k+1}

Нам надо найти Z=4X-2Y (на сколько больше Артёму придётся выплатить, если он погасит кредит четырьмя равными платежами, а не двумя).

Z=4X-2Y=4\cdot \frac{Sk^4}{(k^2+1)(k+1)} -2\cdot \frac{Sk^2}{k+1}= \frac{2Sk^2}{k+1}(\frac{2k^2}{k^2+1}-1)

Обратите внимание - коэффициент k удобнее записать в виде обыкновенной дроби, а не десятичной; k=\frac{5}{4}. Получим:

Z=\frac{2\cdot4100\cdot25\cdot4}{16\cdot9}(\frac{2\cdot25\cdot16}{16\cdot41}-1)=\frac{2050\cdot25}{9}(\frac{50}{41}-1)=\frac{2050\cdot25}{9}\cdot\frac{9}{41}=50\cdot25=1250 тыс. рублей.

Ответ: 1250000 рублей.

18. Авторская задача.

При каких значениях параметра a система имеет ровно 2 решения?
\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2-6y)(\sqrt{36-x^2}-y)=0\\ x=a(y+2)\end{matrix}\right.

Ответ:-\frac{3}{4};~0;~\frac{3}{4}.

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

\begin{cases} (x^2+y^2-6y)(\sqrt{36-x^2}-y)=0&\\x=a(y+2) & \end{cases}\Leftrightarrow

Мы выделили в 1 уравнении полный квадрат, чтобы привести его к уравнению окружности.

Решим систему графически.

Уравнение x^2+(y-3)^2=9 задаёт окружность с центром P(0;3) и радиусом 3.

Уравнение y=\sqrt{36-x^2} задаёт верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом 6.

Рассмотрим уравнение x=a(y+2).

Еслиa=0, то это прямая x=0, (ось ординат).

Если a\neq 0, то уравнение x=a(y+2) задаёт семейство прямых, проходящих через точку (0;-2) с угловым коэффициентом, равным \frac{1}{a}\cdot b. В самом деле, выразив у через х , получим, при a\neq 0, y=\frac{1}{a}-2.

Случай a=0 нам подходит - прямая x=a(y+2) пересекает график 1 уравнения в двух точках.

Нам подходят также случаи касания прямой x=a(y+2)c графиком первого уравнения в точках В и С. Значения параметра в этих случаях найдем геометрическим способом.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Рассмотрим треугольник АСР.

\angle ACB=90^\circ, ~PC=3, ~~AP=2+3=5, следовательно АС=4.

tg\alpha=\frac{PC}{AC}=\frac{3}{4}.

Тогда tg\varphi =tg(90^\circ - \alpha)=ctg\alpha=\frac{4}{3};

tg\alpha =\frac{1}{a}, значит, в точке С значение параметра а равно \frac{3}{4}.

Для точки В: a=-\frac{3}{4}.

Ответ:-\frac{3}{4};~0;~\frac{3}{4}.

19. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Ответ:а) да
б) нет
в) 9753

Решение:

Число а делится на 11, если суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.

а) Из цифр 1, 2, 3, 4 легко составить, например, число 1342, в котором равны суммы цифр на четных и нечетных позициях: 1+4 = 3+2. Это число делится на 11:

1342 = 11\cdot 122.

б) Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 невозможно составить число, в котором равны суммы цифр на четных и нечетных позициях.

Ведь 1+2+3+4+5 = 15 – число нечетное, и его нельзя представить в виде суммы двух одинаковых целых числе.

Но может быть, удастся так разбить цифры 1, 2, 3, 4, 5 на две группы, что суммы цифр в этих группах будут отличаться на 11, или на 22, или на 33 – в общем, на число, кратное 11?

Ясно, что в одной группе должно быть 2 цифры, а в другой 3 цифры. Поместим в одну группу три самые большие из наших цифр – 3, 4 и 5. В другой группе останутся 1 и 2. Тогда

(3+4+5) - (1+2) = 9 <  11.

При любом другом распределении цифр на две группы суммы цифр в группах будут отличаться еще меньше. Значит, число 12345 «хорошим» не является.

в) Нечетные цифры – это 1, 3, 5, 7 и 9.

Четырехзначное «хорошее» число, состоящее из нечетных цифр, найти легко. Например, 9753 – максимально возможное число, которое можно составить из нечетных цифр, и оно «хорошее», потому что число 9537 удовлетворяет признаку делимости на 11.

Может быть, удастся составить из нечетных цифр пятизначное «хорошее» число?

1+3+5+7+9 = 25, и разбить эти цифры на две группы с одинаковой суммой цифр в каждой группе не получится. Предположим, что нам удастся разбить их на две группы так, что в одной группе сумма цифр равна S, а в другой S+11. Тогда 2S+ 11 = 25 и S = 7. Но среди цифр 1, 3, 5, 7 и 9 невозможно найти такие, сумма которых равна 7.

Если сумма цифр в одной группе равна цифр равна S, а в другой S+22 – получим, что 2S+ 22 = 25, нет натуральных решений.

Если сумма цифр в одной группе равна цифр равна S, а в другой S+11n, где n\geq 3, натуральных решений также не получится.

Значит, наибольшее «хорошее» число – 9753.


При разработке вариантов использованы условия задач с сайтов https://ege.sdamgia.ru/,
http://zadachi.mccme.ru, http://kvant.mccme.ru.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить