Slider

Маттренинги Вариант 3

1. Авторская задача. В среднем учащиеся «ЕГЭ-Студии» съедают за учебный день 1,8 кг шоколадных конфет, при условии, что на занятия не пришел Гриша. Если Гриша приходит на занятия, то он съедает 0,5 кг конфет. На сколько дней хватит 10 кг шоколадных конфет, если Гриша собирается посетить «ЕГЭ-Студию» ровно 2 раза?

Ответ: 5.

Решение: За два посещения Гриша съест 1 килограмм конфет. Оставшихся 9 килограммов хватит на 5 учебных дней.

2. Авторская задача. На диаграмме показан рост числа пользователей сети «ВКонтакте» в период с 2006 по 2013 год (в млн. человек). Определите, во сколько раз выросло число пользователей в 2010 году по сравнению с 2009 годом. Если необходимо, округлите ответ до целых.

Ответ: 2.

Решение: Согласно диаграмме (а она отражает реальную ситуацию), в 2009 году число пользователей сети «ВКонтакте» составляло 50 миллионов человек, а в 2010 году 100 миллионов, число пользователей выросло в 2 раза.

3. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Ответ: 50.

Решение:
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, который в этой задаче равен \frac{3}{5}. Значит, отношение площадей равно \frac{9}{25}, и площадь большого
многоугольника равна 18 \cdot \frac{25}{9} = 50.

4. Авторская задача. Склад оборудован двумя датчиками сигнализации различной конструкции, которые подают звуковой сигнал, если в помещение проникает посторонний. Вероятность выхода из строя в течение года для первого датчика равна 0,1 и второго 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы один датчик сигнализации останется исправным.

Ответ: 0,98.

Решение:

Как всегда в таких задачах, нарисуем схему возможных исходов.

РИСУНОК

Нам подходят все исходы, кроме одного – когда в течение года сломались оба датчика. Вероятность этого, неблагоприятного для нас исхода, равна 0,1 \cdot 0,2 = 0,02.
Вероятность благоприятного исхода (хотя бы один датчик сработал) равна 1-0,02 = 0,98.

5. Найдите корень уравнения 3^{\log_{9}(5x-5)}=5.

Ответ: 6.

6. Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника АВС, равен 2\sqrt{3}. Найдите сторону АВ.

Ответ: 6.

Решение: Если а – сторона правильного треугольника, то радиус описанной вокруг него окружности равен \frac{a\sqrt{3}}{3}.

\frac{a\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}

a =6.

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на этом интервале.

Ответ: 2.

Решение:

Эта задача – типичная «ловушка» для абитуриентов. И хоть придумали эту ловушку еще в 2010 году – глупые маленькие мышки до сих пор в нее попадаются. А умные знают, что производная отражает поведение функции. Если функция возрастает – ее производная положительна. Если функция убывает – ее производная отрицательна. На рисунке изображен как раз график производной. И на интервале (-7; 14) есть ровно две точки, где производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точки х=7 и х=12 (найдите их на рисунке).

8. Авторская задача. Стеклянный шар помещен в цилиндрическую банку с крышкой так, что он касается ее стенок, дна и крышки. Во сколько раз объем банки больше объема шара?

Ответ: 1,5.

Решение:
Стандартная задача о шаре, вписанном в цилиндр. Радиус шара равен радиусу основания цилиндра, высота цилиндра равна диаметру шара.

РИСУНОК
ФОТКА

9. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{24(sin^217^{\circ}-cos^217^{\circ})}{cos34^{\circ}}

Ответ: -24.

10. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0=57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=12 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v_0t+\frac{at^2}{2}. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 30.

Решение:

11.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 16.

Решение:

12. Найдите наибольшее значение функции y=14x-7tgx-3,5\pi +11 на отрезке [-\frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{3}].

Ответ: 4.

Решение:

13. а) Решите уравнение 9^{sinx}+9^{-sinx}=\frac{10}{3}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{7\pi }{2};-2\pi].

14. В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA_1=4\sqrt{2}. Точка Q — середина ребра A_1B_1, а точка P делит ребро B_1C_1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C_1. Плоскость APQ пересекает ребро CC_1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC_1.
б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости APQ.

15. Решите неравенство (3^{x+2}+3^{2-x})x^2\geq \frac{45x^2}{2}.

16. Угол между касательными РВ и РС, проведенными из точки Р к окружности S, равен 60°. Отрезок, соединяющий центр окружности S с точкой Р, пересекается с окружностью S в точке Т, а с отрезком ВС – в точке М. Прямая ВТ пересекает отрезок РС в точке Е.
а) Докажите, что точки Р, В, М и Е лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырехугольника РВМЕ, если радиус окружности S равен четырем.

17. Максим открыл вклад на сумму 312500 рублей под 20% годовых и каждый год после начисления процентов добавлял ко вкладу одну и ту же сумму Х. Известно, что через 4 года после начисления процентов и внесения дополнительной суммы Х вклад стал равен 983500 рублей. Какую сумму Максим ежегодно добавлял ко вкладу?

Ответ: 62500 рублей.

Решение:

Это задача не на кредит, а на вклад, но принцип решения тот же. Ключевые слова в условии – ежегодно Максим добавлял ко вкладу одну и ту же сумму Х.

ДАЛЬШЕ ФОТКА

18. Найти все значения параметра a при каждом из которых среди значений функции y=\displaystyle \frac{x^2-2x+a}{6+x^2} есть ровно одно целое число.

Ответ: а принадлежит (1; 11) .

Решение:

Это нестандартная задача с параметром. Надо очень внимательно посмотреть на условие и найти какой-либо хитрый способ решения.

Дальше фотка.

19. По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.
а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.
б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Ответ: а) 45
б) 12

Решение:


При разработке вариантов использованы условия задач с сайтов https://ege.sdamgia.ru/,
http://zadachi.mccme.ru, http://kvant.mccme.ru.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить