Slider

Маттренинги Вариант 4

1. Авторская задача. Заработная плата Николая составляет 120 тысяч рублей в месяц, а заработная плата Андрея 144 тысячи рублей в месяц. На сколько процентов зарплата Андрея больше зарплаты Николая?

Ответ: 20%.

Решение:

За 100% мы всегда принимаем величину, с которой сравниваем. В этой задаче за 100% принимается зарплата Николая (сравниваем с ней). Тогда зарплата Андрея равна 120+24=120 + \frac{120}{5} = 120 + \frac{1}{5} \cdot  120 = 120 + 20\% = 120\%, зарплата Андрея на 20% больше зарплаты Николая.

2. Авторская задача. На графике показано изменение напряжения на конденсаторе в зависимости по времени. Определите, за какое время напряжение на конденсаторе уменьшилось от 1 В до нуля. Ответ выразите в мс.

Ответ: 0,8.

Решение: При t = 0,6 мс напряжение было равно 1 В. При t = 1,4 мс напряжение равно нулю; 1,4-0,6 = 0,8.

3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см.

Ответ: 10,5.

Решение:
Найдем площадь треугольника как разность площадей квадрата со стороной 5 и трех треугольников (треугольник 1, треугольник 2 и треугольник 3).

S = 5^2 - \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 = 10,5.

4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Ответ: 0,75.

Решение:

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

РИСУНОК

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна х. Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 1-х.

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% - не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% - не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо - из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 0,4x.

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна 0,2(1-x).

Сложив эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:
0,4x + 0,2 (1-x) = 0,35.

Решаем это уравнение и находим, что x = 0,75 – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

5. Найдите корень уравнения: \sqrt{-72-17x}=-x
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Ответ: -9.

Решение:

6. Угол ACB равен 14,5^{\circ}. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 117^{\circ}. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 44.

Решение:

7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4.

Решение: Если производная функции в точке положительна, функция в этой точке возрастает. Целые точки в условии задачи – это точки с целыми абсциссами. Значит, нам нужны точки с целыми абсциссами (целыми координатами по Х), лежащие на промежутках возрастания функции. Они отмечены на рисунке. Таких точек 4.

8. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 1.

Решение:

Пирамида SАВС – правильная, значит, треугольник АВС – правильный, а SM – высота пирамиды. Объем пирамиды V=\frac{1}{3} S_{OCH}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot  3\cdot 1=1.

9. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt[15]{5}\cdot  5\sqrt[10]{5}}{\sqrt[6]{5}}.

Ответ: 5.

Решение:
Представим корни в виде степеней.

10. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0=440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v)=\displaystyle \frac{f_0}{1-\frac{v}{c}} (Гц), где c – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=315 м/с. Ответ выразите в м/с.

Ответ: 7.

Решение:
Начнем с неожиданного вопроса: сколько тепловозов в задаче? Прочитайте внимательно условие – тепловозов здесь два. Один издает гудок, стоя у платформы и собираясь поехать. Другой подъезжает к платформе.

Для человека, стоящего на платформе, гудок подъезжающего тепловоза выше по частоте, чем гудок неподвижного тепловоза. Когда тепловоз будет удаляться от платформы, человек будет воспринимать его гудок как более низкий по тону. Это называется эффектом Доплера.

Теперь решение.
ФОТКИ

11. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Ответ: 10.

Решение:
Задачу можно считать подготовительной по сравнению с задачей №17 («банковской», или «экономической»). Пусть банк начисляет p% годовых. После начисления процентов сумма вклада S увеличивается в (1+\frac{p}{100}) = k раза и станет равна S\cdot (1+\frac{p}{100}) =Sk. После второго начисления процентов (еще через год) сумма вклада равна S\cdot (1+\frac{p}{100})^2 = Sk^2.

Составим уравнение:
ФОТКА

12. Найдите наибольшее значение функции y=x^3-6,5^2+14x-14 на отрезке [-4; 3].

Ответ: -3,5.

Решение:

13. а) Решите уравнение 4sin^2=tgx

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [-\pi ;0]

14. Точки М и N – середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О – точка пересечения медиан грани АВС.
а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.
б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD – правильный тетраэдр.

Ответ: б) 45°

Решение:

15. Решите неравенство \log_{2}^2(3x-1)+\log_{3x-1}^22-\log_{2}(3x-1)^2-\log_{3x-1}4+2\leq 0

Ответ: 1.

Решение:

16. Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD являются диаметрами окружностей, пересекающихся в точках М и N.
а) Докажите, что МN и АD перпендикулярны.
б) Найдите MN, если боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.

Ответ: б) 96.

Решение:

17. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— Каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 77 760 руб, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 131 760 руб, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Ответ: 20.

Решение:

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(1+sinx)^4-4sinx=7-a-a^2 не имеет решений.

19. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \frac{13}{7}?
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \frac{8}{7}?

Ответ: а) да
б)нет.

Решение:


При разработке вариантов использованы условия задач с сайтов https://ege.sdamgia.ru/,
http://zadachi.mccme.ru, http://kvant.mccme.ru.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить