Slider

Маттренинги Вариант 5

Вариант 5 (Cтандарт)
Это самый стандартный из наших вариантов маттренингов. Только задачи из Банка заданий ФИПИ. Сложность варианта соответствует сложности реальных задач ЕГЭ.

1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Ответ: 36.

Решение:
За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е 60\cdot 600 = 36000 метров. Скорость бегуна 36 км/ч.

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:13.

Решение: Наибольшая температура 15 июля равна 21 градус. Наименьшая равна 8 градусов. Разница между ними 13 градусов.

3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12,5.

Решение:

Разделим четырехугольник на два треугольника.

Площадь каждого из треугольников найдем по формуле S = \frac{1}{2} a\cdot h.
Основание у обоих треугольников равно 5, высота верхнего равна 2, высота нижнего равна 3.
S = S_1+ S_2 = \frac{1}{2} (5\cdot 2 + 5\cdot 3) = 12,5.

4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Ответ: 0,38.

Решение:

Если в автобусе меньше 20 пассажиров, то их может быть либо меньше 15, либо от 15 до 19, причем эти события несовместны. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.
Пусть р – вероятность того, что в автобусе будет от 15 до 19 пассажиров.
Тогда p + 0,56 = 0,94.
p = 0,38.

5. Найдите корень уравнения \sqrt{\frac{6}{4x-54}}=\frac{1}{7}.

Ответ: 87.

Решение:

6. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45.

Решение:

Пусть биссектрисы прямоугольного треугольника АВС пересекаются в точке М.
Рассмотрим треугольник АВМ.
\angle MAB = \frac{1}{2}\angle BAC,
\angle ABM = \frac{1}{2}\angle ABC, тогда \angle AMB = 180^{\circ} - \angle MAB - \angle ABM =  180^{\circ}-  \frac{1}{2}( \angle ABC + \angle BAC).
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен \phi .
Угол \phi смежный с углом АМВ, следовательно, \phi =\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BAC).

Поскольку треугольник АВС – прямоугольный, то \angle ABC+\angle BAC =90^{\circ}.
Тогда \phi =   (\angle ABC+\angle BAC) = 90^{\circ}: 2 = 45^{\circ}.

7. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Ответ: -1,25.

Решение:
Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Тангенс угла, смежного с углом наклона касательной к оси абсцисс, найдем из прямоугольного треугольника на рисунке. Он равен \frac{5}{4}. Тогда тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен -\frac{5}{4}. Значение производной в точке x_0 равно -\frac{5}{4}=-1,25.

8. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 28\sqrt{2}. Найдите образующую конуса.

Ответ: 56.

Решение: Из прямоугольного равнобедренного треугольника АОВ:
AB= 28\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = 28\cdot 2 = 56.

9. Найдите значение выражения (\displaystyle \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}})^2.

Ответ: 2.

Решение:

10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t)=T_0+bt+at^2, где t – время в минутах, T_0=1400K, a=-10к / мин² , b=200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 2.

Решение:

По условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:
T(t) = 1400 + 200t - 10t^2
В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или
1400 + 200t - 10t^2  \leq  1760.
-t^2+ 20t - 36 \leq 0.
Находим корни квадратного уравнения -t^2+20t-36 =0 : t_1=2,t_2=18

РИСУНОК

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, и если нагреватель не отключили, прибор, войдя в зону температур T > 1760, попросту сгорит. И пусть при t=18 температура снова равна 1760 К – но уже поздно! Значит, прибор нужно отключить через 2 минуты после начала работы.

11. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Ответ: 25.

Решение:

12. Найдите наименьшее значение функции y=2^{x^2+2x+5}

Ответ: 16.

Решение:

13. а) Решите уравнение \displaystyle \frac{1}{sin^2x}-\displaystyle \frac{3}{sinx}+2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{5\pi }{2};-\pi].

14. На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка Е, так что
A_1E :EA=6:1, на ребре BB_1 – точка F так, что B_1F:FB=3:4, точка Т – середина ребра B_1C_1. Известно, что AB=4\sqrt{2} , AD=30, AA_1=35 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D_1 .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Ответ: б) 382,5.

Решение:

15. Решите неравенство \displaystyle \log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\geq -4

16. В треугольнике АВС угол ВАС равен 60 градусов, угол АВС равен 45 градусов. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную вокруг него окружность в точках М, Т, Р.
а) Докажите, что треугольник МТР прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника МТР, если ВС = 12.

Ответ: 24\sqrt{3}.

Решение:

17. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 0,3 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца, со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга, 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года кредитования?

Ответ: 179250 рублей.

Решение:

Будем вести расчеты в тысячах рублей. Пусть S = 300 (тысяч рублей) – сумма кредита,

18. Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x)=\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}-2\end{vmatrix}-ax+8a

принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

Ответ:

Решение:

19. Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?
б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?
в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Ответ: а) да
б) нет
в) все четные натуральные числа.

Решение:


При разработке вариантов использованы условия задач с сайтов https://ege.sdamgia.ru/,
http://zadachi.mccme.ru, http://kvant.mccme.ru.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить