Slider

Решение. Задание 16, Вариант 5

Условие задачи

(Авторская задача) Четырехугольник АВСD вписан в окружность; лучи ВА и СD пересекаются в точке Р, углы ВРС и АСD равны 30°, BC= \sqrt{\frac{3}{2}}AB.

а) Докажите, что ВС и AD параллельны.
б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины АС и ВD, если R = 2.

Решение

а) Пусть О – центр окружности, R – ее радиус.

а) Треугольник АСР – равнобедренный,

∠АСР= ∠АРС=30°, значит, ∠САР=120°, ∠ВАС=60°.

∠АОD=60°, так как центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Тогда треугольник АОD – правильный и AD=R.

По теореме синусов, \displaystyle \frac{BC}{sin\angle A}=2R. Следовательно, \displaystyle \frac{2\cdot BC}{\sqrt{3}}=2R; BC=R\sqrt{3}, тогда \sqrt{\displaystyle \frac{3}{2}}AB=R\sqrt{3} и AB=R\sqrt{2} .

Мы получили, что для треугольника АОВ выполняется теорема
Пифагора:

AB^2=AO^2+OB^2.

Значит, ∠АОВ=90°, ∠АСВ=45° ( как вписанный, опирающийся на ту же дугу).
Из треугольника ВРС, где ∠Р=30°, ∠С=75°, получим, что ∠АВС=180°- 30°-75°=75°. Значит, ABCD – равнобокая трапеция и AD∥ВС.

б) Докажем, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали BD трапеции АВСD. Пусть точка К – середина стороны DC. Тогда МК – средняя линия треугольника BDC. Пусть МК пересекает диагональ АС в точке N. Тогда NK – средняя линия треугольника ADC, поскольку проходит через середину стороны DC параллельно AD, то есть N – середина АС. Таким образом, отрезок MN – это разность средних линий треугольников BDC и ADC, и его длина равна полуразности оснований.

MN=\displaystyle \frac{BC-AD}{2}=\displaystyle \frac{R(\sqrt{3}-1)}{2}

Если R=2, то MN=\sqrt{3}-1.

Ответ:

MN=\sqrt{3}-1.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить