Slider

Решение. Задание 18, Вариант 1

Условие задачи

Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4ax+|x^2-6x+5| больше, чем -24.

Решение

Чего не стоит делать в этой задаче? Не стоит строить график функции f(x)=4ax+|x^2-6x+5| . Вместо этого сформулируем условие задачи немного по-другому.

Нам надо найти такие значения а, чтобы наименьшее значение функции f(x) было больше, чем - 24. Это значит, что все значения функции f(x) будут больше - 24. Другими словами, мы ищем такие значения параметра а, чтобы неравенство

4ax + |x:2- 6x + 5| > - 24 выполнялось для любого х.

Запишем неравенство в виде:
|x^2- 6x + 5| > - 4ax- 24. Обозначим b = -4а:

|x^2- 6x + 5| > bx- 24.

Решим это неравенство графически. График правой части – прямая с угловым коэффициентом b, проходящая через точку (0; -24).

График левой части построить легко. Мы строим квадратичную параболу
y=  x^2- 6x + 5. Эта функция равна нулю при х = 1 и х = 5, вершина параболы в точке с координатами (3; -4). Затем отражаем вверх часть параболы, лежащую ниже оси Х.

Выполнение неравенства | x^2- 6x + 5|> bx- 24 для всех х означает, что весь график функции y= | x^2- 6x + 5 | лежит выше прямой у= bх- 24. Найдем, при каких значениях углового коэффициента b это происходит.

В точках А и В прямая у= bх- 24 касается графика функции y= | x^2- 6x + 5 |. Поскольку точки А и В лежат выше оси Х, их ординаты положительны и в формуле функции
y= | x^2- 6x + 5 | модуль раскрывается с «плюсом».
Запишем условия касания:

\left\{\begin{matrix}x^2-6x+5=bx-24\\ 2x-6=b\end{matrix}\right.

Подставив b = 2х – 6 в первое уравнение, получим: x^2 = 29. Абсциссы точек А и В – это \sqrt{29} и -\sqrt{29}.

В точке A: b = 2 \sqrt{29} -6,
В точке B: b = - 2 \sqrt{29} -6.

Неравенство | x^2- 6x + 5|> bx- 24 выполняется, если - 2 \sqrt{29} -6 < b < 2 \sqrt{29} -6.
Поскольку b = -4а, для а получим условие:

a\in (\frac{3-\sqrt{29}}{2};\frac{3-+\sqrt{29}}{2})

Это ответ.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить