Slider

Решение. Задание 18, Вариант 5

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

|(|x^2-6x+5|-x^2+6x-13)|<a-a^2-(x-2)^2+2x-4

имеет единственное целое решение.

Решение

Преобразуем зависящее от х выражение в правой части неравенства, раскрыв скобки:

-(x-2)^2+2x-4=-x^2+4x-4+2x-4=-x^2+6x-8=

=-(x^2-6x+8)

Сделаем замену z=x^2-6x+5.

Тогда -x^2+6x-13=-(x^2-6x+13)=-(z+8).

Неравенство примет вид:

|(|z|-z-8)|+z<a-a^2-3.

Обозначим a-a^2-3=b.

|(|z|-z-8)|+z<b

Оценим, какие значения может принимать z=x^2-6x+5. Выделим полный квадрат:

z=x^2-6x+5=x^2-6x+9-4=(x-3)^2-4\geq -4.

Заметим, что если х – целое, то z(x) – тоже целое.

Построим график функции y(z)=|(|z|-z-8)|+z при z≥-4.

y(z)=z+8 , если z\geq 0,

y(z)=3z+8, если z<0,

Функция y(z) монотонно возрастает, то есть каждое свое значение принимает ровно один раз.


Если b\in(-4; -1] , неравенство y(z) < b имеет единственное целое решение z=-4 .

Если b \leq -4 – решений нет. Если b > -1 - неравенство имеет более одного целого решения z.
Если z=z_0  – решение неравенства, то все z<z_0  также будут решениями неравенства.

Мы получили, что если b\in(-4; -1] , то неравенство |(|z|-z-8)|+z < b имеет единственное целое решение z=-4 .

Если z=(x-3)^2-4=-4, то x=3, и значит, исходное неравенство также имеет единственное целое решение х=3.

Найдем, при каких а это произойдет.

Ответ:

a\in (\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2};\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}).

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить