Slider

Решение. Задание 13, Вариант 2

Условие задачи

Авторская задача
а) Решите уравнение 5(1-tg^{2}x)+(12sin x-7)(1+tg^{2})x=0

б) Найдите все его решения на отрезке [-2\pi; 0 ]

Решение

ОДЗ уравнения: \cos x\neq 0

Поделим обе части уравнения на 1+tg^{2} x. Это выражение положительно всегда, когда \cos x\neq 0, и на него можно делить.

5\cdot \displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}+(12\sin x-7)=0

Вспомним полезные формулы, которые носят название «Универсальная тригонометрическая замена»:

\sin 2x= \displaystyle \frac{2\textup{tg}x}{1+tg^{2}x};

\cos 2x=\displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}

Получим:

5\cos 2x+12\sin x-7=0

Используем формулу

cos2x=1-2 sin^{2}x:

5-10\sin ^{2}x+12\sin x-7=0

5\sin ^{2}x-6\sin x+1=0

\left[       \begin{gathered}         \sin x=1 \\         \sin x=\frac{1}{5}       \end{gathered} \right.

Серия решений,для которой \sin x=1, не входит в ОДЗ. Ведь если \sin x=1, то \cos x=0. Остается серия решений \sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.
Ответ в пункте (а): x=(-1)^n\arcsin \frac{1}{5}+\pi n, n\in Z

б) Отберем корни на отрезке [-2\pi; 0 ]

Отметим на тригонометрическом круге точки, для которых \sin x=\displaystyle \frac{1}{5}. Это
x_1=\arcsin \frac{1}{5}+2\pi n и x_2=\pi -\arcsin \frac{1}{5}+2\pi n, n\in Z
Наш отрезок начинается с точки -2\pi. Значит, ему принадлежат точки
x_1=\arcsin \displaystyle  \frac{1}{5}-2\pi и x_2=-\pi -\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}.

Ответ:

а) x=(-1)^n\arcsin \frac{1}{5}+\pi n, \ n\in Z

б) x_1=\arcsin \frac{1}{5}-2\pi ;

x_2=-\pi -\arcsin \frac{1}{5}

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить