Slider

Решение. Задание 14, Вариант 2

Условие задачи

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1} имеют длину 6. Точки M и N – середины ребер A A_{1} и A_{1} C_{1} соответственно.
а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны
б) Найдите угол между плоскостями BMN и АВ B1.

Решение

а) Покажем, что ∠BMN=90°.

Пусть точка Р – середина АС.

В плоскости BNP проведем отрезок BN.

Рассмотрим треугольник BMN, из которого можно найти угол BMN.
Сначала найдём MN, BM и BN – стороны этого треугольника.

∆ABC правильный, ВР – его высота, BP=\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{2}.

Из \Delta BPN: BN^2=BP^2+NP^2=\displaystyle \frac{36\cdot 3}{4}+36=36\cdot \displaystyle \frac{7}{4}=63.

Из \Delta A_{1}MN: MN^2=A_{1}M^2+A_{1}N^2=18,
поскольку A_{1}M=NA_{1}=3.

Из \Delta ABM: BM^2=AB^2+AM^2=36+9=45.

Для треугольника BMN выполняется теорема Пифагора: BN^{2}= MN^{2}+BM^{2}. Значит, он прямоугольный.

б) Найдем угол \varphi между плоскостями BMN и ABB_{1}.

Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Плоскости BMN и ABB_{1} пересекаются по прямой ВМ, причем в пункте (а) мы доказали, что MN ⊥ BM. В плоскости ABB_{1} построим FM ⊥ BM.

Заметим, что \Delta ABM\sim A_{1}MF ,

\displaystyle \frac{A_{1}F}{AM}=\displaystyle \frac{AM}{AB}, значит, A_{1}F= \frac{1}{4} A_{1} B_{1}.

Отрезок NF равен половине высоты правильного треугольника A_{1}B_{1}C_{1}, NF=\frac{1}{2}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},

NF\perp A_{1}B_{1}.

Кроме того, отрезок NF лежит в плоскости верхнего основания призмы, которая перпендикулярна боковому ребру AA_{1}.

Значит, NF\perp AA_{1}.

Поскольку NF перпендикулярен двум пересекающимся прямым AA_{1} и BA_{1}, лежащим в плоскости AA_{1}B_{1}, получим: NF\perp AA_{1}B_{1}.

Тогда NF⊥FM; ∆NFM – прямоугольный,

sin\varphi =\displaystyle \frac{NF}{MN}=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3\sqrt{2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\displaystyle \frac{3}{8}};
\varphi =\arcsin \sqrt{\displaystyle \frac{3}{8}}.

Ответ:

б) \varphi =\arcsin \sqrt{\frac{3}{8}}

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить