Slider

Решение. Задание 16, Вариант 2

Условие задачи

В треугольнике АВС точки A_{1}, B_{1} и C_{1} — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A_{1}, B_{1}, C_{1} и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A_{1}H, если BC = 2\sqrt{ 3}.

Решение

В треугольнике АВС точки A_{1}, B_{1} и C_{1} — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.

а) Докажите, что точки A_{1}, B_{1}, C_{1} и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A_{1}H, если BC = 2\sqrt{ 3}.

а) Докажем, что A_{1}, B_{1}, C_{1} и H лежат на одной окружности.

A_1  B_1 и B_1 C_1 - средние линии △АBС. Это значит, что A_1  B_1 \parallel AB, B_1 C_1 \parallel BC,

A_1 B_1 C= BAC=60^{\circ},
C_1 B_1 A=BCA=45 ^{\circ}.

Тогда ∠A_1 B_1 C_1=75^{\circ}.

A_1 HC_1=90^{\circ}+AHC_1

AHC_1 - равнобедренный (поскольку HC_1 - медиана прямоугольного треугольника AHB, \ HC_1=AC_1.

AHC_1= ∠HAC_1=90 ^{\circ}- 75=15 ^{\circ},

значит, ∠A_1 HC_1=90 ^{\circ}+15=105 ^{\circ}, ∠A_1 HC_1 + A_1 B_1 C_1=180 ^{\circ}.

Четырехугольник A_1 HC_1 B_1 можно вписать в окружность.

б) BC=2\sqrt{3}; найдем A_1 H.
Очевидно, B_{1}C_{1}=\frac{BC}{2}=\sqrt{3} ( как средняя линия △АВС),

A_1 B_1 C_1~△ABC (по трем сторонам),

A_1=A=60^{\circ}, тогда по теореме синусов
\displaystyle \frac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1}=2R, где R-радиус окружности,на которой лежат точки A_1 , B_1 , C_1 ,\  H .

Найдем R.

2R=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}};\ R=1.

Рассмотрим △A_1 C_1 H:

\displaystyle \frac{A_1H}{\sin \angle A_1C_1H}=2R,

\angle A_1CH=180^{\circ}-\angle HA_1C_1-\angle A_1HC_1=

=180^{\circ}-45^{\circ}-105^{\circ}=30^{\circ};

A_1H=2R\cdot \sin 30^{\circ}=2\cdot \frac{1}{2}=1.

Ответ:

б) 1

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить