Slider

Решение. Задание 16, Вариант 3

Условие задачи

(Авторская задача) Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.
а) Докажите, что ВА – биссектриса угла КВС.
б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.

Решение

а) Пусть AD, ВТ и CF – высоты треугольника ABC.

△AВD – прямоугольный, ∠BDA=90°, ∠BAD=60°,

Тогда ∠HKB=∠BAH =60° (как вписанные углы, опирающиеся на дугу BH).

△KBF – прямоугольный, ∠FKB=60°, тогда ∠KBF=30° => BA – биссектриса ∠KBС.

Кроме того, △KBС – правильный (∠ВКС=60°, высота BF является биссектрисой); KB=BC=KC.

б) AC=12, BC∩ω=E. Найдем ВЕ.
По теореме синусов из △АBС:

\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C};

\angle C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ};

24=\frac{AB}{\sin75^{\circ}};\ AB=24\sin75^{\circ};

Заметим, что из точки С проведены к окружности секущие СВ и СК;

по свойству отрезков секущих СВ∙СЕ=СК∙СН;

поскольку ВС=СК, получается, что СЕ=СН.

Значит, треугольник СЕН – правильный.

Тогда ВЕ=СВ – СЕ = АВ – СН.

Из △АСН по теореме синусов:

\frac{AC}{\sin\angle AHC}=\frac{CH}{\sin\angle HAC};\ \angle AHC=150^{\circ}, \ \angle HAC=15^{\circ},

CH=24\sin15^{\circ}.

BE=AB-CH=24\sin75^{\circ}-24\sin15^{\circ}=24(\sin75^{\circ}-\sin15^{\circ})=

=24\cdot 2\sin30^{\circ}\cdot \cos45^{\circ}=24\cos45^{\circ}=12\sqrt{2.}

Ответ:

б) 12\sqrt{2}

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить