Slider

Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №16 ( вариант 4) решение и ответы

Условие задачи

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Решение

Пусть L, K, M, N, P, Q – точки касания

а) Докажем, что AN = \frac {1}{2} P_{ABC}.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит,

AN=AP;

AN=AC+CN=AC+CQ;

AP=AB+BP=AB+BQ;

2AN=AC+AB+CQ+BQ =AC+AB+BC;

AN = \frac {1}{2} P_{\Delta ABC}

б) Найдем S_ {\Delta ABC}, если, r=O_1 M=4,R=O_2 N=8.

Поскольку CMO_1K и CNO_2 Q – квадраты,
МС=4, QC=8,

C\in O_1O_2, O_1C=4\sqrt{2}, O_2C=8\sqrt{2}

Рассмотрим трапецию O_1 O_2 PL.

O_1L=4, O_2P=8, OO_1=4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}

Точка С делит сторону O_1 O_2 в отношении O_1 C:O_2 C=1:2.

Тогда CF = \frac {4}{3}.

Проведем СН, причем СН – высота треугольника АВС.

CH=CF+FH=\frac {4}{3}+4=\frac {16}{3}.

Из пункта (а):

\left\{\begin{matrix}AN=AC+8=\frac{1}{2}P_{ABC}\ (1)\\\\BK=BC+4=\frac{1}{2}P_{ABC}\ (2)\\\end{matrix}\right.

Отсюда:

BC=AC+4,

AC+8=\frac{1}{2}(AB+AC+BC),

AC+8=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}\cdot 4,

\frac{1}{2}AB=6;\ AB=12;

S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot 12=32.

Ответ:

б) 32

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить