Slider

Решение. Задание 18, Вариант 2

Условие задачи

Авторская задача.

При каких значениях параметра а система уравнений

\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\leq x^2\cdot y^2+1\\ x^2+y^2\leq 2\\ (x-a)^2+(y-a)^2=\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}\end{matrix}\right.

имеет единственное решение?

Решение

Заметим, что параметр в этой системе есть только в третьем уравнении. А в неравенствах – ни в первом, ни во втором – его нет.
Начнем с первого неравенства:

Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.

Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:

Решим второе неравенство системы:
x^2+y^2\leq  2
На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом \sqrt{2}. Совместим решения первого и второго неравенств.

Уравнение (x-a)^2+(y-a)^2=|a| задает окружность радиуса \sqrt{|a|} с центром (a;a).
Это значит, что ее центр лежит на прямой y = x.

Параметр а может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка (0;0). Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка (0;0) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.

Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая третьим уравнением, проходит через точку A или точку B на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.

Найдем, при каких значениях параметра задаваемая третьим уравнением окружность проходит через точку А или через точку В.
1. Подставим координаты точки уравнения A(1;1) в третье уравнение.
Получим:

\left\{\begin{matrix}2(a-1)^2=|a|\\ a>0\end{matrix}\right.

Условие a>0 добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка А. Значит, обе координаты центра окружности положительны.

При a>0 имеем:

|a|=a

и

\left\{\begin{matrix}2(a-1)^2=a\\ a>0\end{matrix}\right.

Решения системы: a=2 и a=\frac{1}{2} .

Но если a=\frac{1}{2}, центр окружности лежит внутри квадрата и система имеет бесконечно много решений.

Значит, единственное решение будет при a = 2.

2.Подставив координаты точки B в уравнение окружности, получим:

\left\{\begin{matrix}2(a+1)^2=|a|\\ a<0\end{matrix}\right.,

.

Второе значение нам не подходит – как и в предыдущем пункте.

Исходная система имеет единственное решение, если a=-2.

Ответ:

-2, 0, 2.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить