Slider

Решение. Задание 18, Вариант 3

Условие задачи

(Авторская задача) При каких значениях параметра c уравнение 5sin^2 x=11 sinx+c не имеет двух решений на интервале (0;2π)?

Решение

Сделаем замену sin⁡ x= t; t∈[-1;1].
Запишем уравнение в виде: c=5t^2-11t и рассмотрим функцию c(t)=5t^2-11t.

Построим график этой функции в координатах t,c. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке t_0=\frac{11}{10}. Она пересекает ось t в точках t=0 и t=\frac{11}{5}. Очевидно, нам нужна часть графика при t∈[-1;1].
Найдем значения функции c(t) в концах отрезка [-1;1]:
t(1)=-6,
t(-1)=16.

На отрезке [-1;1] функция c(t) убывает и принимает значения от 16 до -6, причем каждое значение с соответствует только одному значению t.

Посмотрим на уравнение sinx=t при x∈(0;2π).

Уравнение sinx=t имеет единственное решение на интервале (0;2π) в следующих случаях:

1) Если x=\frac{\pi }{2} . Тогда t=sin \frac{\pi }{2}=1.

2) Если x=\pi . Тогда t=sin \pi =0.

3) Если x=\frac{3\pi }{2}. Тогда t=sin \frac{3\pi }{2}=-1.

При всех остальных t∈(-1;1) уравнение sin x=t имеет два решения. Если t>1 или t<-1 – решений нет. Вернемся к графику функции c(t)=5t^2-11t.

Если t=1, то c=-6,

Если t=0, то c=0,

Если t=-1, то c=16.

Если c>16, или c<-6, уравнение c(t)=5t^2-11t не имеет решений при t∈[-1;1]

Эти случаи нам также подходят. По условию, исходное уравнение должно одно решение или ни одного решения при x∈(0;2π).

Ответ:

c\in (-\infty ;-16]\cup \begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}\cup [6;+\infty )

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить