Slider

Решение. Задание 19, Вариант 1

Условие задачи

Последовательность a_1,\  a_2,...,a_n \  (n\geq 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?По условию, a_{k}> \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2};

Решение

Вспомним, что для арифметической прогрессии
a_{k}= \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2};

для нашей последовательности:
a_{k-1}+a_{k+1}<2a_{k}=>a_{k+1}-a_{k}<a_{k}-a_{k-1}

Что это означает? Что чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга. Разность между соседними членами последовательности уменьшается с ростом их номера k.

И если d_{k}=a_{k+1}-a_{k}, то d_{k}<d_{k-1}<d_{k-2}...
Например, d_{5}<d_{4}<d_{3}<d_{2}<d_{1}.

а) Последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.

б) Если разности между соседними членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Это будет означать, что в последовательности есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
Разность между соседними ее членами уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной.

в) Найдем S_{min}, если n=8.

Мы нашли, что d_{7}<d_{6}<...<d_{1} (разность между соседними членами последовательности уменьшается с увеличением их номера k).

Запишем это условие в виде
d_{7}\leq d_{6}-1\leq d_{5}-2\leq ...\leq d_{1}-6;

и в общем виде:
d_{k}\leq d_{k-1}-1\leq d_{k-2}-2...\leq d_{1}-k+1.

Здесь d_{k}=a_{k+1}-a_{k}, отсюда

d_{k-1}\geq d_{k}+1;\ d_{k-2}\geq d_{k}+2...;\ d_{1}\geq d_{k}+k-1;

Тогда

a_{1}=a_{k}-d_{k-1}-d_{k-2}-...-d_{1}\leq a_{k}-(d_{k}+1)-(d_{k}+2)...- -(d_{k}-k+1);

- то есть

a_{1}\leq a_{k}-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2};

a_{8}=a_{k}+d_{k}+d_{k+1}+ ...+d_{7}\leq

\leq a_{k}+d_{k}+(d_{k}-1)+(d_{k}-2)+...+(d_{k}-7+k).

a_{8}\leq a_{k}+(8-k)d_k- \displaystyle \frac {(7-k)(8-k)}{2}

Мы получим систему:

\left\{\begin{matrix}a_k-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}\geq 1 \\\\a_k+(8-k)d_k-\displaystyle \frac{(7-k)(8-k)}{2}\geq 1\end{matrix}\right.

Исключим из этой системы d_k, оставив a_{k} и k в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на 8-k, а второе на k-1 и сложим их. Получим:

7a_k-\displaystyle \frac{7(k-1)(8-k)}{2}\geq 7;

a_k\geq \displaystyle \frac{(k-1)(8-k)}{2}+1.

По условию, 2\leq k \leq 7 . Тогда

a_{1} \geq 1; \ a_{2} \geq 4;\ a_{3} \geq 6;\ a_{4} \geq 7;\ a_{5} \geq 7;\ a_{6} \geq 6;\ a_{7} \geq 4;\ a_{8} \geq 1.
Их сумма S\geq 36. Это оценка.
Приведём пример. Последовательность
1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.

Ответ:

а) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 15, 16
б) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 13, 10
в) Максимальная сумма: 36. Пример: последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить