Slider

Решение задачи №18 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{matrix}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x\end{matrix}\right.

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

\left\{\begin{matrix}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x\end{matrix}\right.

Упростим второе уравнение системы:

x^2+y=xy+x < = > x(x-y)=x-y < = > \left[       \begin{gathered}         x=1; \\        x=y, \\       \end{gathered} \right.

Исходная система равносильна совокупности двух систем:

\left[       \begin{gathered}        \left\{\begin{matrix}x=1\\a+ay^2-2a+5+2ay+1=0\\ \end{matrix}\right. \\       \left\{\begin{matrix}x=y\\2ay^2-(2a-5)y+2ay+1=0\\ \end{matrix}\right. \\       \end{gathered} \right. < = >

< = >\left[       \begin{gathered}        \left\{\begin{matrix}x=1\\ay^2+2ay+6-a=0\\ \end{matrix}\right. \\       \left\{\begin{matrix}x=y\\2ay^2+5y+1=0\\ \end{matrix}\right. \\       \end{gathered} \right.

Исходная система имеет ровно 4 решения, если каждое из квадратных уравнений имеет ровно 2 различных решения и соответствующие им значения х не совпадают между собой.

Это значит, должны выполняться условия:

1) a\neq 0, т.к. при а=0 оба квадратных уравнения превращаются в линейные;

2) \left\{\begin{matrix}D_1>0\\ D_2>0\end{matrix}\right.;~\left\{\begin{matrix}4a^2-4a(6-a)>0\\ 25-8a>0\end{matrix}\right.< = >

< = > \left\{\begin{matrix}\left[       \begin{gathered}         a<0; \\        a>3, \\       \end{gathered} \right.\\ a<\frac{25}{8}\end{matrix}\right.

y\neq 1, поскольку если y=1 система имеет единственное решение (1;1). Подставив y=1 в любое из квадратных уравнений, найдем, что это происходит при 2a+6=0, т.е.
a = - 3.

Объединим все условия.

Ответ: a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;0)\cup (3;\frac{25}{8})

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить