Slider

Решение задачи №19 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S – B.

Решение

а) Пусть на доске написаны числа x_1, ~ x_2...x_{11}, причём x_1< x_2<...<x_{11}.

По условию, среднее арифметическое шести наименьших чисел равно 5.

Значит, Z_6=x_1+x_2+...+x_6=30.

Предположим, что x_1=3.

Поскольку числа различны

Z_6\geq 3+4+5+6+7+8; ~ Z_6\geq 33.

Мы получили противоречие, и x_1 не может быть равно 3.

б) Поскольку среднее арифметическое шести наибольших чисел равно 15, их сумма равна 90. Имеем:

x_1+x_2+...+x_6=30.

x_6+x_7+...+x_{11}=90.

Сложив эти равенства, получим, что

(x_1+x_2+...+x_{11})+x_6=120.

Обозначим x_1+x_2+...+x_{11} =Z_{11}.

Если среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9, то Z_{11}=99, и тогда x_6=120-99=21.

Значит, x_6+x_7+x_8+...+x_{11} \geq 21+22+...+26;

x_6+x_7+x_8+...+x_{11} \geq \frac {21+26}{2}\cdot 6

(по формуле суммы арифметической прогрессии), x_6+x_7+x_8+...+x_{11} \geq 141.

По условию, x_6+x_7+x_8+...+x_{11} =90.

Мы снова получили противоречие, и среднее арифметическое всех 11 чисел не может быть равно 9.

в) Пусть x_6=B, ~ \frac{x_1+x_2+...+x_{11}}{11}=S.

Найдем наибольшее значение выражения S-B.

По условию,

x_1+x_2+...+x_5+B=30.

B+x_7+...+x_{11}=90.

x_1+x_2+...+x_{11}=11S. Отсюда

S-B=\frac{120-12B}{11}.

В самом начале решения задачи мы записали, что x_1<x_2<x_3<...<x_{11}.

Перейдем от строгих неравенств к нестрогим (это один из приёмов, помогающих в решении задачи 19).

B>x_5 => B \geq x_5+1,

x_5 \geq x_4+1, тогда B \geq x_5+1\geq x_4+2.

Получим:

x_5\leq B-1

x_4\leq B-2

x_3\leq B-3

x_2\leq B-4

x_1\leq B-5; тогда

x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\leq 5B-15;

x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+B \leq 6B-15;

6B-15 \geq 30;

6B \geq 45;

B \geq \frac{15}{2}.

Поскольку В - целое, B \geq 8. Это оценка.

Приведём пример для B=8, написав на доске числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40. Все условия выполнены.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить