Slider

ОГЭ Вариант 1

1. Расположите в порядке возрастания числа 0,1439; 1,3; 0,14.

1) 0,1439; 0,14; 1,3

2) 1,3; 0,14; 0,1439

3) 0,1439; 1,3; 0,14

4) 0,14; 0,1439; 1,3

Ответ: 4.

Решение:

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой:

0,1439,
1,3000,
0,1400.

Наименьшим является последнее число, наибольшим — второе число.

2. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к Солнцу?

Планета Венера Нептун Уран Юпитер
Расстояние (в км) 1,082 \cdot 10^8 4,497 \cdot 10^9 2,871 \cdot 10^9 7,781 \cdot  10^8


1) Венера
2) Нептун
3) Уран
4) Юпитер

Ответ: 1.

Решение: Ближе всех к Солнцу Венера. Если в детстве вам читали книжки о Солнечной системе, вы сможете ответить и без этой таблицы :- )

3. На координатной прямой отмечено число a.

Расположите в порядке возрастания числа a-1; \frac{1}{a}; a.
В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a; \displaystyle \frac{1}{a}; a-1

2) a; a-1 ;  \displaystyle \frac{1}{a}

3) a-1 ; a;  \displaystyle \frac{1}{a}

4) \displaystyle  \frac{1}{a}; a-1 ; a

Ответ: 4.

Решение: Поскольку \displaystyle -\frac{1}{2}  <a < 1, число а – 1 будет расположено между числами \displaystyle -1\frac{1}{2} и -1, а \displaystyle \frac{1}{a} меньше, чем -2. Расположив числа в порядке возрастания, получим: \displaystyle  \frac{1}{a}; a-1 ; a.

4. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь \displaystyle \frac{c^{-6}\cdot c^3}{c^{-2}}

1) c^{-1}

2) c^{-5}

3) c^{6}

4) c^{0}

Ответ: 1.

Решение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. Поскольку -6 + 3 + 2 = -1, дробь преобразуется в c^{-1}.

5. На рисунке изображена зависимость температуры (в градусах Цельсия) от высоты (в метрах) над уровнем моря. Определите по графику, на сколько градусов температура на высоте 200 метров выше, чем на высоте 650 метров.

Ответ: 4.

Решение: Температура на высоте 200 метров равна 11 °C, а на высоте 650 метров — 7 °C, что на 4 градуса меньше.

6. Решите систему уравнений \left\{\begin{matrix}3x-y=-1,\\ -x+2y=7.\end{matrix}\right.

Ответ: (1; 4).

Решение: Из первого уравнения: у = 3х + 1. Подставив во второе уравнение, получим: 5х=5. Тогда х=1, у = 4.

7. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

Ответ: 80.

Решение: Лиственные составляют \displaystyle  \frac{4}{5} от числа всех деревьев в парке, то есть 80% от общего числа деревьев.

8. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.

Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь Австралии больше площади Китая.
2)Площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.
3) Площадь территории Индии составляет 4 млн км квадратных.
4) Аргентина входит в семерку крупнейших по площади территории стран мира.

Ответ: 2.

Решение: Верно только второе утверждение: Площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.

9. У бабушки 15 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Ответ: 0,6.

Решение: Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Вероятность того, что бабушка возьмет чашку с синими цветами, равна \displaystyle  \frac{9}{15}=0,6.

10. На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) k<0, b>0
2) k<0, b<0
3) k>0, b>0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А Б В

Ответ: 123.

Решение: Для графика А): k < 0, поскольку функция возрастающая. b >0, поскольку ордината точки пересечения графика с осью Y больше нуля.
Для графика Б): k < 0, b <0. Для графика B): k > 0, b >0.

11. Дана геометрическая прогрессия (b_n), для которой b_3 = \frac {4}{7}, b_6 = -196. Найдите знаменатель прогрессии.

Ответ: -7.

Решение: Формула для n-ного члена геометрической прогрессии: b_n=b_1q^{n-1}

Составим систему уравнений:
\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{4}{7}=b_1\cdot q^2,\\ -196=b_1\cdot q^5.\end{matrix}\right.

Найдем q = -7.

12. Найдите значение выражения 28ab+(2a-7b)^2 при a=\sqrt{15}, b=\sqrt{8},

Ответ: 452.

Решение:

28ab+(2a-7b)^2=28ab+4a^2-28ab+49b^2=4a^2+49b^2

При данных значениях а и b получим: 4 \cdot 15 + 49 \cdot  8 = 452.

13. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=\displaystyle \frac{b\cdot c \cdot sin\alpha }{2}, где b и с — стороны треугольника, а \alpha — угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника, если \alpha = 30°, c = 5, b = 6.

Ответ: 7,5.

Решение: Поскольку sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, площадь равна 5\cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= 7,5.

14. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x^2-17x+72\geq 0?
В ответе укажите номер правильного варианта.

Ответ: 4.

Решение: Разложим левую часть неравенства на множители, найдя корни квадратного уравнения x^2-17x+72=0

(x-8)(x-9) \geq 0.

Решение этого неравенства изображено на рисунке 4.

15. Девочка прошла от дома по направлению на запад 20 м. Затем повернула на север и прошла 800 м. После этого она повернула на восток и прошла ещё 200 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

Ответ: 820.

Решение:

Пройдя 20 м на запад, а затем 200 м на восток, девочка в результате переместилась на 180 метров на восток. На север она прошла 800 метров.
Найдем гипотенузу х прямоугольного треугольника со сторонами 800 и 180.

x^2 = 800^2 + 180^2 = 100 \cdot (80^2 + 18^2) = 400 \cdot (40^2 + 9^2) = 400 \cdot 1681, тогда x= 20\cdot 41 = 820.

16. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1= 38°, ∠2 = 76°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 66.

Решение:

На рисунке мы видим треугольник, в котором ∠3 надо найти, ∠2 = 76°,

а третий угол этого треугольника равен ∠1= 38° (как соответственные при параллельных прямых).

Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Тогда ∠3 = 180° - 76° - 38° = 66°

17. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 24°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 12.

Решение: Пусть М – точка, из которой проведены касательные к окружности. В четырехугольнике АМВО углы А и В – прямые, поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Тогда угол АОВ равен 360° - 90° - 90° - 24° = 156°. Треугольник АОВ – равнобедренный. Поскольку сумма его углов равна 180 градусов, угол АВО равен (180° - 156°) : 2 = 12°.

18. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 48 и AD = 112, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Ответ: 80.

Решение:
Треугольник АВЕ – равнобедренный по условию, и ВЕ = 48. Тогда EC= 112-48 = 64, ЕD – гипотенуза прямоугольного треугольника СЕD, ED^2= CD^2 + EC^2 = 64^2 + 48^2 = 64 (64 + 36) = 64\cdot 100,

ED = 8\cdot 10 = 80.

19. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 22,5.

Решение: Пусть О – центр окружности. Тогда угол АОС равен 45 градусов. Это центральный угол. Угол АВС – вписанный, и его величина равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть 45:2 = 22,5 градуса.

20. Какое из следующих утверждений верно?
1. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: 1.

Решение: Первое утверждение верно. Поскольку все стороны квадраты равны, его площадь равна квадрату стороны (или произведению смежных сторон).
Второе неверно – иначе трапеция превратилась бы в параллелограмм.
Третье неверно – углы между соответственно равными сторонами этих треугольников могут быть разными.

21. Решите уравнение x^4-2x^2-15=0

Ответ: \sqrt{5}; -\sqrt{5}.

Решение: Сделаем замену x^2=y, y\geq 0. Получим уравнение y^2 - 2y + 15 = 0.
Его корни -3 и 5. Корень у = -3 не удовлетворяет условию у ≥ 0. Если у = 5, исходное уравнение имеет корни \sqrt{5}; -\sqrt{5}.

22. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Ответ: 33.

Решение: Пусть х – количество вопросов теста. Время, которое потратил на тест Дима, больше времени, потраченного Сашей, на 75 минут, то есть на \frac{5}{4} часа.

Получим:

\frac{x}{12}-\frac{x}{22}=\frac{5}{4}

Отсюда х=33.

23. Постройте график функции y=\displaystyle \frac{2x+5}{2x^2+5x}. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: 0,16.

Решение:

Функция y=\displaystyle \frac{2x+5}{2x^2+5x} не определена при х = 0 и при х = - 2,5.

График этой функции - гипербола y=\displaystyle \frac{1}{x} без точки с абсциссой х= - 2,5.

Прямая у = kx имеет с графиком функции y=\displaystyle \frac{2x+5}{2x^2+5x} ровно одну общую точку только тогда, когда проходит через выколотую точку с абсциссой х = - 2,5. Ордината этой точки равна -\frac{2}{5}.

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой и найдём k.

-\frac{5}{2}\cdot k=-\frac{2}{5}

k=\frac{4}{25}= 0,16.

24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.
Найдите площадь трапеции.

Ответ: 130\sqrt{2}

Решение:

Боковая сторона трапеции равна (56 - 8 - 18) : 2 = 15.
Отрезок АН на рисунке равен полуразности оснований, АН = 5.

Высоту трапеции найдем из прямоугольного треугольника ADH. Она равна 10\sqrt{2}.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, S=130\sqrt{2}.

25. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Решение:

Точка I - центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Углы IAC и ICA равны половинам углов А и С треугольника АВС.
Тогда
\angle AIC = 180^{\circ} - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2} \angle C) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle B) = 90^{\circ} + \frac{\angle B}{2}.

Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, угол АВС – вписанный в эту окружность, \angle B) =\frac{1}{2}\angle AOC.

Поскольку точки А, О, I, С лежат на одной окружности, углы АОС и АIС равны.
Тогда 90^{\circ} + \frac{\angle B}{2} = 2 \angle B, и \angle B = 60^{\circ}.

26. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ: 2,4

Решение:

Проведем МТ параллельно АР. Поскольку М – середина АС, МТ – средняя линия треугольника АРС и СТ = ТР.
Аналогично, КР – средняя линия треугольника ВМТ, и ВР = РТ.

Пусть S – площадь треугольника АВС.
Площадь четырехугольника КРСМ равна разности площадей треугольника АВС и треугольников АВМ и ВКР.

Тогда площадь треугольника ВКР в 4 раза меньше площади треугольника ВМТ.
Площадь треугольника ВМТ равна \frac{2}{3} площади треугольника ВМС, то есть \frac{1}{3} площади треугольника АВС. Тогда площадь треугольника ВКР равна \frac{1}{12} площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АВМ равна половине площади треугольника АВС.
Тогда площадь четырехугольника КРСМ равна S -\frac{1}{2} S - \frac{1}{12} S =  \frac{5}{12} S.
Отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника КРСМ равно \frac{12}{5} = 2,4.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить