Slider

Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №14 решение и ответы


а) Покажем, что ∠BMN=90°.
Пусть точка Р – середина АС.
В плоскости BNP проведем отрезок BN.
Рассмотрим треугольник BMN, из которого можно найти угол BMN.
Сначала найдём MN, BM и BN – стороны этого треугольника.
∆ABC правильный, ВР – его высота, BP=\frac{6\sqrt{3}}{2}.
Из \Delta BPN: BN^2=BP^2+NP^2=\frac{36\cdot 3}{4}+36=36\cdot \frac{7}{4}=63.
Из \Delta A_{1}MN: MN^2=A_{1}M^2+A_{1}N^2=18 ,поскольку A_{1}M=NA_{1}=3.
Из \Delta ABM:BM^2=AB^2+AM^2=36+9=45.
Для треугольника BMN выполняется теорема Пифагора: BN^{2}= MN^{2}+BM^{2}. Значит, он прямоугольный.

б) Найдем угол \varphi между плоскостями BMN и ABB_{1}.

Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Плоскости BMN и ABB_{1} пересекаются по прямой ВМ, причем в пункте (а) мы доказали, что MN ⊥ BM. В плоскости ABB_{1} построим FM ⊥ BM.

Заметим, что \Delta ABM\sim A_{1}MF ,
\frac{A_{1}F}{AM}=\frac{AM}{AB},значит, A_{1}F= \frac{1}{4} A_{1} B_{1}.

Отрезок NF равен половине высоты правильного треугольника A_{1}B_{1}C_{1}, NF=\frac{1}{2}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},

NF\perp A_{1}B_{1} Кроме того, отрезок NF лежит в плоскости верхнего основания призмы, которая перпендикулярна боковому ребру AA_{1}. Значит, NF\perp AA_{1}. Поскольку NF перпендикулярен двум пересекающимся прямым AA_{1} и BA_{1}, лежащим в плоскости AA_{1}B_{1}, получим: NF\perp AA_{1}B_{1}.
Тогда NF⊥FM; ∆NFM – прямоугольный,

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить