Slider

Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №16 решение и ответы

В треугольнике АВС точки A_{1}, B_{1} и C_{1} — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A_{1}, B_{1}, C_{1} и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A_{1}H, если BC = 2\sqrt{ 3}.

А) Докажем, что A_1 , B_1 , C_1 , H лежат на одной окружности.

A_1  B_1 и B_1 C_1 - средние линии △АBС. Это значит, что A_1  B_1 AB, B_1 C_1 BC,
A_1 B_1 C =∠ BAC=60^{\circ},
C_1 B_1 A=∠ BCA=45 ^{\circ}.
Тогда ∠A_1 B_1 C_1=75^{\circ}.
A_1 HC_1=90^{\circ}+AHC_1
AHC_1- равнобедренный (поскольку HC_1- медиана прямоугольного треугольника AHB, HC_1=AC_1.
AHC_1= ∠HAC_1=90 ^{\circ}- 75=15 ^{\circ}, значит, ∠A_1 HC_1=90 ^{\circ}+15=105 ^{\circ},∠A_1 HC_1 + A_1 B_1 C_1=180 ^{\circ}.
Четырехугольник A_1 HC_1 B_1 можно вписать в окружность.

б) BC=2\sqrt{3}; найдем A_1 H.
Очевидно, B_{1}C_{1}=\frac{BC}{2}=\sqrt{3} ( как средняя линия △АВС),
A_1 B_1 C_1~△ABC (по трем сторонам), ∠A_1=A=60^{\circ}, тогда по теореме синусов
где R-радиус окружности,на которой лежат точки A_1 , B_1 , C_1 , H . Найдем R.

Рассмотрим △A_1 C_1 H:

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить