Slider

Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №19 ( вариант 3) решение и ответы

а) Предположим, что на доске есть число 240. Тогда сумма остальных девяноста девяти чисел S_{99}=5130-240=4890.

Вы уже догадались, что дальше? Эта сумма не меньше, чем сумма первых 99 членов натурального ряда:

S_{99} \geq  1 + 2 + 3... + 99;
S_{99} \geq  4950. В то же время S_{99} = 4890 – противоречие! Значит, число 240 не может находиться на доске.

б) Попробуем обойтись без числа 16. Посчитаем сумму натуральных чисел от 1 до 100.

S_{100}=1+2+...+100=5050.

Теперь заменим число 16 на наименьшее из тех, на которые его можно заменить, – то есть на число 101. Пусть Z_{100} – сумма 100 чисел после замены. Оценим ее:

Z_{100}\geq 5050-16+101=5135. Опять противоречие с условием! Значит, число 16 обязательно должно быть на доске.

в) Посмотрим, какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске.
Мы уже поняли, что число 16 должно быть обязательно. Может ли оно быть единственным числом, кратным 16?

Оценим в этом случае сумму 100 чисел на доске:

S_{100} \geq 1+2+...+31+33+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+95+97+98+99+100+101+102+103+104+105.

Мы убрали числа 32, 48, 64, 80 и 96 и заменили их числами 101, 102, 103, 104 и 105.
Тогда
S_{100} \geq \frac{1+105}{2}\cdot 105-32-48-64-80-96
S_{100} \geq 5245, и равенствоS_{100} =5130 невозможно.

Аналогично, если на доске есть только два числа, кратные 16,
S_{100} \geq 1+2+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+95+97+98+99+100+101+102+103+104;

S_{100} \geq \frac{1+104}{2}\cdot 104-48-64-80-96

S_{100} \geq 5172 , и мы снова получим противоречие с условием.

Три числа, кратные 16, могут быть на доске. Пусть это числа 16, 32 и 48.

Тогда
S_{100} \geq 1+2+...+63+65+...+79+81+...+95+97+98+99+100+101+102+103;

S_{100} \geq \frac{1+103}{2}\cdot 103-64-80-96

S_{100} \geq 5116, противоречий с условием нет.

Сумма 100 чисел 1, 2,…,63, 65…79,81,…95, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 117 равна 5130, и среди этих 100 чисел есть ровно 3 числа, кратные 16.

Заметим, что всех трех задачах использована формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить