Slider

Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №19 ( вариант 4) решение и ответы

Пусть A=\overline{abcd},A\vdots 4,   a+b+c+d=abcd.
Заметим, что среди цифр числа A нет нулей. Иначе произведение цифр было бы равно нулю.
а) Предположим, что среди цифр числа A ровно 3 единицы.
Пусть все цифры числа A, кроме одной, – единицы. Например, a≠1,b=c=d=1.
Тогда a=a+3, и это невозможно.
б) Предположим, что только одна из цифр числа А равна единице, а другие не равны. Очевидно, d≠1 (поскольку А⋮4).
Пусть a=1,тогда b≥2,c≥2,d≥2.Тогда b+c+d+1=bcd.
Выразив из этого равенства d, получим:

\displaystyle d=\frac{b+c+1}{bc-1}

Поскольку 2≤d≤9,

\displaystyle d=\frac{b+c+1}{bc-1} \geq 2

Умножим обе части неравенства на bc-1>0.
Получим:

Значит, b=\frac{5}{3}, и это противоречит условию b≥2. А вот если b = 1, противоречий нет. Из трех цифр – a, b и с – две могут быть единицами. Очевидно, что d не равно единице, поскольку число А делится на 4.

в) Возможно ли, чтобы в числе А вообще не было единиц? Предположим, что
a≥2,b≥2,c≥2,d≥2. Из условия a+b+c+d=abcd получаем, что

\displaystyle d=\frac{a+b+c}{abc-1}\geq 2

Тогда a+b+c\geq 2abc-2, отсюда

\displaystyle  b\leq \frac{a+c+2}{2ac-1}

При этом b≥2. Тогда

\displaystyle \frac{a+c+2}{2ac-1}\leq 2 ;

a+c+2\geq 4ac-2 ;

2\leq a\leq \frac{c+4}{4c-1}

Из неравенства \frac{c+4}{4c-1}\geq 2 получаем, что c+4\geq 8c-2,
7c\leq6;
c<1.

Значит, число А содержит ровно две единицы.
Пусть x и y – цифры числа А, отличные от единиц.
x+y+2=xy, тогда

y=\frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+1+2}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}

И значит, x-1 должно быть делителем числа 3.
Это возможно только если x=2 или x=4.

Если х=4,то y=2, и значит, число А составлено из цифр 1,1,2 и 4.
Поскольку A⋮4, остается три варианта: 1124,4112 и 1412.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить