Slider

Новая задача 19 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства), восток

Задача 19 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства)
Это новая, непростая задача 19. Вам удалось ее решить? Публикуем наше решение!

У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?
б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?
в) Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжелый грузик Вовы?

а) Да, может. Набор грузов массами 3, 4, 5, 6, 7, 8 подходит.
Пары грузов 3+4, 3+5 уравновешиваются грузами 7 и 8.
Пары 3+6 и 4+5, 3+7 и 4+6, 3+8, 4+7 и 5+6, 4+8 и 5+7 уравновешивают друг друга.
Пара 5+8 уравновесится парой грузов 6+7.
Пара 6+8 уравновесится тройкой 3+7+4.
Пара 7+8 – тройкой 5+6+4.

б) Сколько всего грузиков может быть? Расположим их массы в порядке возрастания:
a < b < c < d… Два груза, очевидно, не может быть (нечего будет положить на другую чашку весов). Три груза быть не может. Если a + b = c, то пару b+c нечем уравновесить. 4 груза тоже не может быть. Случай a + b = c + d невозможен, поскольку два легких груза будут весить меньше двух тяжелых – то есть ни пару самых легких, ни самых тяжелых грузов нечем уравновесить. 5 грузов также не может быть. Если массы грузиков a, b, c, d, e, то уравновесить два самых тяжелых грузика d и е двумя из легких грузиков a, b, c невозможно – ведь d > c и e > c, а масса двух легких не превышает b + c и меньше 2с. Значит, d + e = a + b + c.
Два самых легких грузика a и b можно уравновесить только одним из тяжелых, поскольку
a + b < c + d. Значит, a + b = c или a + b = d или a + b =е. Подставляя по очереди эти выражения в равенство d + e = a + b + c, получаем: d + e = 2с – невозможно, поскольку d > c и e > c,
или d + e = d + c, но тогда е = с, и это противоречие с условием, массы грузов различны.
Или же d + e = е + c, но тогда d = с – снова противоречие.
Значит, и 5 грузиков не может быть.

в) Пусть среди грузиков Вовы есть один массой 1 г.
В пункте (б) доказано, что 3, 4 или 5 грузов у Вовы быть не может, то есть число грузов больше или равно 6.
Пример для 6 грузов получен в пункте (а). Правда, в нем не было грузика массой 1 грамм. В наборе 3, 4, 5, 6, 7, 8 самый тяжелый груз имеет массу 8 граммов. Может быть, мы подберем набор из 6 грузов, где самый тяжелый весит 6 граммов?
Поскольку a, b, c, d, e, f – массы грузов – натуральные числа, причем различные,
a ≥ 1, b ≥ 2… f ≥ 6.
Возьмем набор 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но уравновесить самые тяжелые грузы не получается – поскольку
5 +6 = 11, а 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Значит, масса самого тяжелого груза не меньше 7 грамм.
Возьмем набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
По сравнению с пунктом (а), в нем добавились новые пары грузов. И все их можно уравновесить:
1 + 7 = 3+ 5;
2 + 7 = 3 + 6;
4 + 7 = 5 + 6;
5 + 7 = 2 + 4 + 6;
6 + 7 = 1 + 3 + 4 + 5.
Мы нашли набор, где масса самого тяжелого груза равна 7 грамм.
Ответ: 7.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ЛЕТНИЕ КУРСЫ ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.