Поведение функции в бесконечности и асимптоты

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Асимптота – это прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней. Чуть позже мы подробно поговорим об этом определении. А для начала покажем на примере, что это такое.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ . У этого графика есть интересная особенность: чем больше $x$ , тем ближе подходит график к прямой $y=3$ . При этом график функции $y=f(x)$ не пересекает эту прямую, но и не остается параллельным ей. Если бы мы двигались по графику функции, увеличивая $x$ , мы бы видели, как расстояние до прямой $y=3$ становится меньше и меньше.

Прямая $y=3$ – это асимптота для графика функции $y=f(x)$ .

Есть два варианта произнесения этого слова: асимпто́та, или аси́мптота, и оба варианта считаются правильными.

Возможно, это слово для вас пока непривычно. А вот сами асимптоты вы видели много раз.

1. Вспомним, как выглядит знакомый вам с 7-го класса график $y=\frac{1}{x}.$

Как вы думаете – почему он такой?

Чем больше х, тем меньше $\frac{1}{x}.$ Если $x=10,$ то $\frac{1}{10}.$ Если $x=100,$ то $\frac{1}{100}.$

Если х стремится к бесконечности, то у стремится к нулю.
Сейчас мы все объясним.
Что значит: «х стремится к бесконечности?» Это значит, что какую бы сколь угодно большую величину мы ни взяли, х будет больше этой величины. Больше тысячи, больше миллиона и больше 100 миллиардов.

Так вот, если х стремится к бесконечности, то $y=\frac{1}{x}$ стремится к нулю.

Кратко это записывается так: Если $x \rightarrow \infty,$ то $\frac{1}{x} \rightarrow 0.$

И если х стремится к бесконечности, то график функции $y=\frac{1}{x}.$ ближе и ближе подходит к оси абсцисс, но не пересекает ее и не сливается с ней.

В этом случае прямая $y=0$ , то есть ось абсцисс, - горизонтальная асимптота для графика функции $y=\frac{1}{x}$ при х стремящемся к бесконечности.

А теперь другая ситуация. Пусть х стремится к нулю. Это значит, что мы берем значения переменной х все меньше и меньше. И в какой-то момент увидим, что х меньше $\frac{1}{100}$ , меньше $\frac{1}{1000}\dots$ Какую бы сколь угодно малую величину мы ни взяли, х будет меньше этой величины. Кратко это записывается так: $x \rightarrow 0$ . Тогда значение переменной у стремится к бесконечности, $\frac{1}{x} \rightarrow \infty.$
Запишем кратко: Если $x \rightarrow 0,$ то $\frac{1}{x} \rightarrow \infty.$

Это мы и видим на графике.

В самом деле, $1:\frac{1}{100}=100; ~~1:\frac{1}{1000}=1000$ , и чем ближе х к нулю, тем дальше в бесконечность уходит величина $\frac{1}{x}.$

Прямая $x=0$ , или ось ординат, - вертикальная асимптота графика функции $\frac{1}{x}.$

2. Еще один пример: функция $y=\frac{1}{x-2}+3.$

График этой функции получается из графика функции $y=\frac{1}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вместе с графиком двигаются и асимптоты.

В этом случае вертикальная асимптота – это прямая $x=2$ , а горизонтальная – прямая $y=3$ .

Обратим внимание, что вертикальная асимптота соответствует значению $x=2$ , при котором знаменатель обращается в ноль. В точке $x=2$ функция $y=\frac{1}{x-2}+3$ не определена. Но всегда ли точка, в которой функция не определена, соответствует вертикальной асимптоте?

3. Рассмотрим функцию $y=\frac{x^2-9}{x-3}.$ Будет ли у нее вертикальная асимптота $x=3$ ? Чтобы ответить на этот вопрос, разложим выражение в числителе по формуле разности квадратов. Получим: $y=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ при $x \neq 3$ .

Никаких вертикальных асимптот здесь нет. График – прямая $y=x+3$ , причем точка с абсциссой 3 на этой прямой – выколотая.

4. Построим эскиз графика функции $y=\frac{x^2+3x}{x-2}.$

Нули этой функции: $x=0$ и $x=-3$ .

Запишем формулу функции в виде $y=\frac{x(x+3)}{x-2}.$ Точки -3; 0; 2 разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых функция $y=\frac{x(x+3)}{x-2}$ сохраняет свой знак.

Функция не определена при $x=2.$ Прямая $x=2$ – вертикальная асимптота графика этой функции.

Есть ли у функции другие асимптоты? Посмотрим, каким будет ее поведение при $x \rightarrow \infty.$

Однако сделать это не так-то просто: с увеличением х растут и числитель, и знаменатель дроби $\frac{x^3+3x}{x-2}.$ Математики говорят, что мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Что делать?

Выделим целую часть в формуле функции: $\frac{x^3+3x}{x-2}=\frac{x^2-2x+5x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{5x}{x-2}=x+\frac{5x}{x-2}.$

В выражении $\frac{5x}{x-2}$ разделим и числитель, и знаменатель на х. Мы можем себе это позволить, поскольку х стремится к бесконечности и точно не обратится в ноль.

Получим: $\frac{5x}{x-2}=\frac{5}{1-\frac{2}{x}}.$ При больших значениях х величина $\frac{2}{x}$ стремится к нулю, и мы можем ею пренебречь.

Получим, что чем больше х, тем ближе график функции $\frac{x^3+3x}{x-2}$ подходит к прямой $y=x+5$ . Прямая $y=x+5$ является наклонной асимптотой для графика данной функции.

Вот эскиз графика:

Уравнение наклонной асимптоты, как и всякое уравнение прямой, имеет вид $y=kx+b$ . В высшей математике существуют специальные формулы для нахождения k и b (через пределы).

5. Построим эскиз графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$ .

Эта функция определена при всех х, так как $x^2+1>0$ всегда. Более того, $x^2+1\geqslant 1$ , и значит, область значений функции: $y \geqslant 0$ . Функция четная, ее график симметричен относительно оси Y. Поскольку $x^2+1\geqslant 1$ , наименьшее значение функции равно 1 и достигается при $x=0$ . Как же ведет себя эта функция, если $x \rightarrow \infty$ ?

В этом случае $y=\sqrt{x^2+1}=|x|\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.$ Мы вынесли из-под корня $|x|$ , поскольку $\sqrt{x^2}=|x|.$ Если
$x \rightarrow \infty ,$ то $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0,$ и график функции $y=\sqrt{x^2+1}$ ведет себя как $y=|x|.$ Это значит, что при $x \rightarrow +\infty$ наклонной асимптотой будет прямая $y=x$ , а при $x \rightarrow -\infty$ ? наклонной асимптотой будет $y=-x$ .

Это наше первое знакомство с асимптотами. Обобщим то, что мы узнали:
Асимптота – такая прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней.

Представим себе, что мы движемся по графику функции. Если мы приближаемся к точке, в которой функция не определена, и при этом график функции уходит в бесконечность, приближаясь к некой вертикальной прямой, то эта прямая – вертикальная асимптота.

Если существует такая прямая, что при увеличении х расстояние от точки на графике функции до этой прямой стремится к нулю, то такая прямая будет горизонтальной или наклонной асимптотой.
Вертикальную асимптоту график функции пересекать не может. А вот горизонтальную или наклонную – может. Такой пример показан на самом первом рисунке в этой главе. Здесь нет противоречия, поскольку о приближении к горизонтальной или наклонной асимптоте имеет смысл говорить, когда значение х стремится к бесконечности.

Можно сказать, что асимптота кривой – это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность. Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ кривой до этой прямой стремится к нулю при движении вдоль ее ветви к бесконечности.

6. Запишите формулы вертикальных и горизонтальных асимптот гипербол:

а) $y=\frac{3}{x-2}+3;$

б) $y=1-\frac{2}{2x+1};$

в) $y=\frac{3}{x-2};$

г) $y=\frac{10}{x}.$

Решение:

а) График гиперболы $y=\frac{3}{x-2}+3$ сдвинут относительно графика $y=\frac{3}{x}$ на 2 вправо и на 3 вверх (и растянут в 3 раза по вертикали). Значит, вертикальная асимптота $x=2,$ горизонтальная асимптота $y=3.$

б) Преобразуем формулу: $y=1-\frac{2}{2x+1}=1-\frac{2}{2(x+\frac{1}{2})}=1-\frac{1}{x-\frac{1}{2}}.$ Вертикальная асимптота $x=-\frac{1}{2}$ , горизонтальная асимптота $y=1.$

в) Формула $y=\frac{3}{x-2}$ задает гиперболу. Функция определена при $x \neq 2$ , т.е. функция имеет точку разрыва с абсциссой 2. Значит, вертикальная асимптота имеет формулу $x = 2$ .
Так как график функции $y=\frac{3}{x-2}$ не сдвинут ни вверх, ни вниз, горизонтальная асимптота имеет формулу $y=0.$

г) Функция $y=\frac{10}{x}$ определена при $x \neq 0$ , т.е. функция имеет точку разрыва с абсциссой 0. Значит, вертикальная асимптота $x=0$ , горизонтальная асимптота $y=0.$

Ответ: а) $x=2; y=3$ б) $x=-\frac{1}{2}; y=1$ в) $x=2; y=0$ г) $x=0; y=0$

7. На каких из рисунков изображены асимптоты графиков функций?

Решение:

Асимптота – это прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней. Вертикальная асимптота соответствует точке, в которой функция не определена. Горизонтальные и наклонные асимптоты – прямые, к которым бесконечно близко подходит график функции, если аргумент стремится к бесконечности. Асимптоты графиков функции изображены на рисунках 2, 3, 4.

Обратите внимание, что на рисунке 4 график пересекает асимптоту. Но происходит это не в бесконечности, а при некотором $x<0$ . И если $x \rightarrow \infty$ , то график бесконечно близко подходит к асимптоте, но не сливается с ней.

На рисунке 1 график функции приближается к пунктирной прямой на ограниченном участке, но не в бесконечности, поэтому эта прямая не является асимптотой.
Значит, асимптоты изображены только на рисунках 2, 3 и 4.

Посмотрим на графики знакомых элементарных функций.

Прямая $y=0$ – горизонтальная асимптота показательной функции при $x \rightarrow -\infty$ .

График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту $x=0.$

График функции $y=tgx$ имеет бесконечно много асимптот.

Это вертикальные прямые $x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$ где $x \in Z.$ При таких значениях переменной х тангенс не определен.

Об элементарных функциях и их графиках читайте здесь.

Посмотрим, как асимптоты помогают строить графики функций.
Подробно о построении графиков функций здесь.

8. Построим график функции $y=\frac{4x^2}{(x-1)(x+2)}.$

Это дробно-рациональная функция.

Область определения $D(y): x \neq 1; x \neq -2$

Нули функции: $x=0$

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: $x=1; x=-2.$

Если x стремится к бесконечности, $y=\frac{4x^2}{(x-1)(x+2)}=\frac{4x^2}{x^2(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}=\frac{4}{(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}.$

Мы сократили числитель и знаменатель в формуле функции на $x^2$ . Мы можем сделать это, поскольку x стремится к бесконечности и значит, не равен нулю.

Получаем, что $y=\frac{4x^2}{(x-1)(x+2)}=\frac{4x^2}{x^2(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}=\frac{4}{(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}.$ Чем больше х, тем меньше значения выражений $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}.$ Если x стремится к бесконечности, то этими выражениями можно пренебречь. Тогда у стремится к 4.

Значит, $y=4$ — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

9. Построим график функции $y=\frac{3x^2+1}{x}.$

В этой задаче нам помогут несколько приемов: выделение целой части, сложение графиков, асимптоты.

Область определения: $x \neq 0.$ .

Выделим целую часть

$y=\frac{3x^2+1}{x}=3x+\frac{1}{x};$ функция является суммой двух элементарных функций, $y_1=3x$ и $y_2=\frac{1}{x}.$

Если $x \rightarrow 0$ ,то $y \rightarrow \infty$ , значит, $x = 0$ - вертикальная асимптота.

При $x \rightarrow \infty$ слагаемым $\frac{1}{x}$ можно пренебречь, и функция ведет себя как $y=3x.$ Значит, $y=3x$ – наклонная асимптота. Вот эскиз графика:

10. Постром график функции $y=\frac{\sin x}{x}.$

Запишем формулу функции в виде $y=\sin x\cdot \frac{1}{x}.$

Функция определена при $x \neq 0.$ Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций $y=\sin x$ и $\frac{1}{x}.$ ⁡ График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции – в точках, где $\sin x =0,$ то есть при $x =\pi n, n \in Z, n \neq 0.$ Отметим эти точки на оси Х.

Отметим также точки с абсциссой $x = \frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z.$ В этих точках значение синуса равно 1. Значение функции $y=\frac{\sin x}{x}$ в этих точках такое же, как и у функции $\frac{1}{x}.$ Аналогично для точек, в которых значение синуса равно -1. В них значение функции $y=\frac{\sin x}{x}$ равно $-\frac{1}{x}.$

Если х стремится к бесконечности,⁡ $y=\frac{\sin x}{x}$ стремится к нулю, то есть при $x \rightarrow \infty, y \rightarrow 0.$ Для этой функции ось абсцисс – горизонтальная асимптота. Несмотря на то, что график функции пересекает ее бесконечное число раз. График функции подходит ближе и ближе к оси абсцисс, но не сливается с ней.

Соединим полученные точки плавной кривой. График почти готов.

Но что же будет, если х стремится к нулю? Ведь и $x$ , и $\sin x$ будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное $y=\frac{\sin x}{x}$ ?
Оказывается, что если х стремится к нулю, то $y=\frac{\sin x}{x}$ ⁡ стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».
Интуитивно это можно объяснить так: при малых х график функции $y=\sin x$ ведет себя как $y=x$ . Поэтому, если х стремится к нулю, то частное $y=\frac{\sin x}{x}$ ⁡ стремится к единице.

Конечно, при $x=0$ наша функция не определена. На графике появится пустая точка.

В итоге получим:

Запишем две полезные формулы для нахождения k и b в формуле наклонной асимптоты $y=kx+b.$

Эти формулы - для тех, кто знаком с понятием предела функции.

$k=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}, b = \lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-kx).$

Все о функциях и графиках на ЕГЭ по математике – на сайте ЕГЭ-Студии.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Асимптоты. Поведение функции в бесконечности» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.06.2023

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Это полезно