Slider

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Асимптота – это прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней. Чуть позже мы подробно поговорим об этом определении. А для начала покажем на примере, что это такое.

На рисунке изображен график функции y=f(x). У этого графика есть интересная особенность: чем больше x, тем ближе подходит график к прямой y=3. При этом график функции y=f(x) не пересекает эту прямую, но и не остается параллельным ей. Если бы мы двигались по графику функции, увеличивая x, мы бы видели, как расстояние до прямой y=3 становится меньше и меньше.

Прямая y=3 – это асимптота для графика функции y=f(x).

Есть два варианта произнесения этого слова: асимпто́та, или аси́мптота, и оба варианта считаются правильными.

Возможно, это слово для вас пока непривычно. А вот сами асимптоты вы видели много раз.

1. Вспомним, как выглядит знакомый вам с 7-го класса график y=\frac{1}{x}.

Как вы думаете – почему он такой?

Чем больше х, тем меньше \frac{1}{x}. Если x=10, то \frac{1}{10}. Если x=100, то \frac{1}{100}.

Если х стремится к бесконечности, то у стремится к нулю.
Сейчас мы все объясним.
Что значит: «х стремится к бесконечности?» Это значит, что какую бы сколь угодно большую величину мы ни взяли, х будет больше этой величины. Больше тысячи, больше миллиона и больше 100 миллиардов.

Так вот, если х стремится к бесконечности, то y=\frac{1}{x} стремится к нулю.

Кратко это записывается так: Если x \rightarrow \infty, то \frac{1}{x} \rightarrow 0.

И если х стремится к бесконечности, то график функции y=\frac{1}{x}. ближе и ближе подходит к оси абсцисс, но не пересекает ее и не сливается с ней.

В этом случае прямая y=0, то есть ось абсцисс, - горизонтальная асимптота для графика функции y=\frac{1}{x} при х стремящемся к бесконечности.

А теперь другая ситуация. Пусть х стремится к нулю. Это значит, что мы берем значения переменной х все меньше и меньше. И в какой-то момент увидим, что х меньше \frac{1}{100}, меньше \frac{1}{1000}\dots Какую бы сколь угодно малую величину мы ни взяли, х будет меньше этой величины. Кратко это записывается так: x \rightarrow 0. Тогда значение переменной у стремится к бесконечности, \frac{1}{x} \rightarrow \infty.
Запишем кратко: Если x \rightarrow 0, то \frac{1}{x} \rightarrow \infty.

Это мы и видим на графике.

В самом деле, 1:\frac{1}{100}=100; ~~1:\frac{1}{1000}=1000, и чем ближе х к нулю, тем дальше в бесконечность уходит величина \frac{1}{x}.

Прямая x=0, или ось ординат, - вертикальная асимптота графика функции \frac{1}{x}.

2. Еще один пример: функция y=\frac{1}{x-2}+3.

График этой функции получается из графика функции y=\frac{1}{x} сдвигом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вместе с графиком двигаются и асимптоты.

В этом случае вертикальная асимптота – это прямая x=2, а горизонтальная – прямая y=3.

Обратим внимание, что вертикальная асимптота соответствует значению x=2, при котором знаменатель обращается в ноль. В точке x=2 функция y=\frac{1}{x-2}+3 не определена. Но всегда ли точка, в которой функция не определена, соответствует вертикальной асимптоте?

3. Рассмотрим функцию y=\frac{x^2-9}{x-3}. Будет ли у нее вертикальная асимптота x=3? Чтобы ответить на этот вопрос, разложим выражение в числителе по формуле разности квадратов. Получим: y=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} при x \neq 3.

Никаких вертикальных асимптот здесь нет. График – прямая y=x+3, причем точка с абсциссой 3 на этой прямой – выколотая.

4. Построим эскиз графика функции y=\frac{x^2+3x}{x-2}.

Нули этой функции: x=0 и x=-3.

Запишем формулу функции в виде y=\frac{x(x+3)}{x-2}. Точки -3; 0; 2 разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых функция y=\frac{x(x+3)}{x-2} сохраняет свой знак.

Функция не определена при x=2. Прямая x=2 – вертикальная асимптота графика этой функции.

Есть ли у функции другие асимптоты? Посмотрим, каким будет ее поведение при x \rightarrow \infty.

Однако сделать это не так-то просто: с увеличением х растут и числитель, и знаменатель дроби \frac{x^3+3x}{x-2}. Математики говорят, что мы получили неопределенность вида \frac{\infty}{\infty}. Что делать?

Выделим целую часть в формуле функции: \frac{x^3+3x}{x-2}=\frac{x^2-2x+5x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{5x}{x-2}=x+\frac{5x}{x-2}.

В выражении \frac{5x}{x-2} разделим и числитель, и знаменатель на х. Мы можем себе это позволить, поскольку х стремится к бесконечности и точно не обратится в ноль.

Получим: \frac{5x}{x-2}=\frac{5}{1-\frac{2}{x}}. При больших значениях х величина \frac{2}{x} стремится к нулю, и мы можем ею пренебречь.

Получим, что чем больше х, тем ближе график функции \frac{x^3+3x}{x-2} подходит к прямой y=x+5. Прямая y=x+5 является наклонной асимптотой для графика данной функции.

Вот эскиз графика:

Уравнение наклонной асимптоты, как и всякое уравнение прямой, имеет вид y=kx+b. В высшей математике существуют специальные формулы для нахождения k и b (через пределы).

5. Построим эскиз графика функции y=\sqrt{x^2+1}.

Эта функция определена при всех х, так как x^2+1>0 всегда. Более того, x^2+1\geqslant 1, и значит, область значений функции: y \geqslant 0. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Y. Поскольку x^2+1\geqslant 1, наименьшее значение функции равно 1 и достигается при x=0. Как же ведет себя эта функция, если x \rightarrow \infty?

В этом случае y=\sqrt{x^2+1}=|x|\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}. Мы вынесли из-под корня |x|, поскольку \sqrt{x^2}=|x|. Если
x \rightarrow \infty , то \frac{1}{x^2} \rightarrow 0, и график функции y=\sqrt{x^2+1} ведет себя как y=|x|. Это значит, что при x \rightarrow +\infty наклонной асимптотой будет прямая y=x, а при x \rightarrow -\infty? наклонной асимптотой будет y=-x.

Это наше первое знакомство с асимптотами. Обобщим то, что мы узнали:
Асимптота – такая прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней.

Представим себе, что мы движемся по графику функции. Если мы приближаемся к точке, в которой функция не определена, и при этом график функции уходит в бесконечность, приближаясь к некой вертикальной прямой, то эта прямая – вертикальная асимптота.

Если существует такая прямая, что при увеличении х расстояние от точки на графике функции до этой прямой стремится к нулю, то такая прямая будет горизонтальной или наклонной асимптотой.
Вертикальную асимптоту график функции пересекать не может. А вот горизонтальную или наклонную – может. Такой пример показан на самом первом рисунке в этой главе. Здесь нет противоречия, поскольку о приближении к горизонтальной или наклонной асимптоте имеет смысл говорить, когда значение х стремится к бесконечности.

Можно сказать, что асимптота кривой – это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность. Расстояние от точки (x_0;y_0) кривой до этой прямой стремится к нулю при движении вдоль ее ветви к бесконечности.

6. Запишите формулы вертикальных и горизонтальных асимптот гипербол:

а) y=\frac{3}{x-2}+3;

б) y=1-\frac{2}{2x+1};

в) y=\frac{3}{x-2};

г) y=\frac{10}{x}.

Решение:

а) График гиперболы y=\frac{3}{x-2}+3 сдвинут относительно графика y=\frac{3}{x} на 2 вправо и на 3 вверх (и растянут в 3 раза по вертикали). Значит, вертикальная асимптота x=2, горизонтальная асимптота y=3.

б) Преобразуем формулу: y=1-\frac{2}{2x+1}=1-\frac{2}{2(x+\frac{1}{2})}=1-\frac{1}{x-\frac{1}{2}}. Вертикальная асимптота x=-\frac{1}{2}, горизонтальная асимптота y=1.

в) Формула y=\frac{3}{x-2} задает гиперболу. Функция определена при x \neq 2, т.е. функция имеет точку разрыва с абсциссой 2. Значит, вертикальная асимптота имеет формулу x = 2.
Так как график функции y=\frac{3}{x-2} не сдвинут ни вверх, ни вниз, горизонтальная асимптота имеет формулу y=0.

г) Функция y=\frac{10}{x} определена при x \neq 0, т.е. функция имеет точку разрыва с абсциссой 0. Значит, вертикальная асимптота x=0, горизонтальная асимптота y=0.

Ответ: а) x=2; y=3 б) x=-\frac{1}{2}; y=1 в) x=2; y=0 г) x=0; y=0

7. На каких из рисунков изображены асимптоты графиков функций?

Решение:

Асимптота – это прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней. Вертикальная асимптота соответствует точке, в которой функция не определена. Горизонтальные и наклонные асимптоты – прямые, к которым бесконечно близко подходит график функции, если аргумент стремится к бесконечности. Асимптоты графиков функции изображены на рисунках 2, 3, 4.

Обратите внимание, что на рисунке 4 график пересекает асимптоту. Но происходит это не в бесконечности, а при некотором x<0. И если x \rightarrow \infty, то график бесконечно близко подходит к асимптоте, но не сливается с ней.

На рисунке 1 график функции приближается к пунктирной прямой на ограниченном участке, но не в бесконечности, поэтому эта прямая не является асимптотой.
Значит, асимптоты изображены только на рисунках 2, 3 и 4.

Посмотрим на графики знакомых элементарных функций.

Прямая y=0 – горизонтальная асимптота показательной функции при x \rightarrow -\infty.

График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту x=0.

График функции y=tgx имеет бесконечно много асимптот.

Это вертикальные прямые x=\frac{\pi}{2}+\pi n, где x \in Z. При таких значениях переменной х тангенс не определен.

Об элементарных функциях и их графиках читайте здесь.

Посмотрим, как асимптоты помогают строить графики функций.
Подробно о построении графиков функций здесь.

8. Построим график функции y=\frac{4x^2}{(x-1)(x+2)}.

Это дробно-рациональная функция.

Область определения D(y): x \neq 1; x \neq -2

Нули функции: x=0

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x=1; x=-2.

Если x стремится к бесконечности, y=\frac{4x^2}{(x-1)(x+2)}=\frac{4x^2}{x^2(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}=\frac{4}{(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}.

Мы сократили числитель и знаменатель в формуле функции на x^2. Мы можем сделать это, поскольку x стремится к бесконечности и значит, не равен нулю.

Получаем, что y=\frac{4x^2}{(x-1)(x+2)}=\frac{4x^2}{x^2(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}=\frac{4}{(1-\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})}. Чем больше х, тем меньше значения выражений \frac{1}{x} и \frac{2}{x}. Если x стремится к бесконечности, то этими выражениями можно пренебречь. Тогда у стремится к 4.

Значит, y=4 — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

9. Построим график функции y=\frac{3x^2+1}{x}.

В этой задаче нам помогут несколько приемов: выделение целой части, сложение графиков, асимптоты.

Область определения: x \neq 0..

Выделим целую часть

y=\frac{3x^2+1}{x}=3x+\frac{1}{x}; функция является суммой двух элементарных функций, y_1=3x и y_2=\frac{1}{x}.

Если x \rightarrow 0,то y \rightarrow \infty, значит,x = 0 - вертикальная асимптота.

При x \rightarrow \infty слагаемым \frac{1}{x} можно пренебречь, и функция ведет себя как y=3x. Значит, y=3x – наклонная асимптота. Вот эскиз графика:

10. Постром график функции y=\frac{\sin x}{x}.

Запишем формулу функции в виде y=\sin x\cdot \frac{1}{x}.

Функция определена при x \neq 0. Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций y=\sin x и \frac{1}{x}.⁡ График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции – в точках, где \sin x =0, то есть при x =\pi n, n \in Z, n \neq 0. Отметим эти точки на оси Х.

Отметим также точки с абсциссой x = \frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z. В этих точках значение синуса равно 1. Значение функции y=\frac{\sin x}{x} в этих точках такое же, как и у функции \frac{1}{x}. Аналогично для точек, в которых значение синуса равно -1. В них значение функции y=\frac{\sin x}{x} равно -\frac{1}{x}.

Если х стремится к бесконечности,⁡ y=\frac{\sin x}{x} стремится к нулю, то есть при x \rightarrow \infty, y \rightarrow 0. Для этой функции ось абсцисс – горизонтальная асимптота. Несмотря на то, что график функции пересекает ее бесконечное число раз. График функции подходит ближе и ближе к оси абсцисс, но не сливается с ней.

Соединим полученные точки плавной кривой. График почти готов.

Но что же будет, если х стремится к нулю? Ведь и x, и \sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное y=\frac{\sin x}{x}?
Оказывается, что если х стремится к нулю, то y=\frac{\sin x}{x}⁡ стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».
Интуитивно это можно объяснить так: при малых х график функции y=\sin x ведет себя как y=x. Поэтому, если х стремится к нулю, то частное y=\frac{\sin x}{x}⁡ стремится к единице.

Конечно, при x=0 наша функция не определена. На графике появится пустая точка.

В итоге получим:

Запишем две полезные формулы для нахождения k и b в формуле наклонной асимптоты y=kx+b.

Эти формулы - для тех, кто знаком с понятием предела функции.

k=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}, b = \lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-kx).

Все о функциях и графиках на ЕГЭ по математике – на сайте ЕГЭ-Студии.