Задание 16, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС

а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.

Решение:

а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC.

Пусть $AM=MP=PC=z.$ По теореме о секущей и касательной,
$AN^2=AM\cdot AP=2z^2,$
$CQ^2=CP\cdot CM=2z^2,$
отсюда $AN=CQ=\sqrt{2}z.$

BN=BQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Значит, AB=BC и треугольник АВС — равнобедренный.

б) Пусть AQ — высота треугольника АВС, $AQ\bot BC$ .

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла В треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — равнобедренный, биссектриса угла В перпендикулярна стороне АС, и тогда О - точка пересечения высот треугольника АВС, то есть $AO\cap CN=O$ .

Обозначим $AN=CQ=y, \ BN=BQ=X, \ ON=OQ=r$ — радиус окружности.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ACQ и ABQ.

Из $\vartriangle ACQ: AC^2=AQ^2+QC^2$ ; ${(3z)}^2=y^2+{AQ}^2$

Из $\vartriangle ABQ: AB^2=BQ^2+AQ^2$ ; ${(x+y)}^2=x^2+AQ^2$

$9z^2-2z^2=2z^2+2x\cdot z\sqrt{2}$ , отсюда ; $\ \ y=z\sqrt{2}$ .

$\vartriangle AON\sim \vartriangle ABQ$ по двум углам,

Выразим r из этого уравнения, зная, что

Ответ: $\frac{5\sqrt{7}}{2}.$

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 16, Вариант 4 — разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 28.09.2023

Задание 16, Вариант 4 — разбор решения задачи

Это полезно