Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.
Решение:
а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC.
Пусть По теореме о секущей и касательной,
отсюда
BN=BQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Значит, AB=BC и треугольник АВС — равнобедренный.
б) Пусть AQ — высота треугольника АВС, .
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла В треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — равнобедренный, биссектриса угла В перпендикулярна стороне АС, и тогда О - точка пересечения высот треугольника АВС, то есть .
Обозначим — радиус окружности.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ACQ и ABQ.
Из ;
Из ;