Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.
Решение:
а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC.
Пусть \(AM=MP=PC=z.\) По теореме о секущей и касательной,
\(AN^2=AM\cdot AP=2z^2,\)
\(CQ^2=CP\cdot CM=2z^2,\)
отсюда \(AN=CQ=\sqrt{2}z.\)
BN=BQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Значит, AB=BC и треугольник АВС — равнобедренный.
б) Пусть AQ — высота треугольника АВС, \(AQ\bot BC\).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла В треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — равнобедренный, биссектриса угла В перпендикулярна стороне АС, и тогда О - точка пересечения высот треугольника АВС, то есть \(AO\cap CN=O\).
Обозначим \(AN=CQ=y, \ BN=BQ=X, \ ON=OQ=r\) — радиус окружности.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ACQ и ABQ.
Из \(\vartriangle ACQ: AC^2=AQ^2+QC^2\); \({(3z)}^2=y^2+{AQ}^2\)
Из \(\vartriangle ABQ: AB^2=BQ^2+AQ^2\); \({(x+y)}^2=x^2+AQ^2\)
\(9z^2-2z^2=2z^2+2x\cdot z\sqrt{2}\), отсюда 
; \(\ \ y=z\sqrt{2}\).
\(\vartriangle AON\sim \vartriangle ABQ\) по двум углам,
Выразим r из этого уравнения, зная, что 
Ответ: \(\frac{5\sqrt{7}}{2}.\)
