Задание 16, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС

а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.

Решение:

а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC.

Пусть $AM=MP=PC=z.$ По теореме о секущей и касательной,
$AN^2=AM\cdot AP=2z^2,$
$CQ^2=CP\cdot CM=2z^2,$
отсюда $AN=CQ=\sqrt{2}z.$

BN=BQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Значит, AB=BC и треугольник АВС — равнобедренный.

б) Пусть AQ — высота треугольника АВС, $AQ\bot BC$ .

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла В треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — равнобедренный, биссектриса угла В перпендикулярна стороне АС, и тогда О - точка пересечения высот треугольника АВС, то есть $AO\cap CN=O$ .