previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16, Вариант 4 — разбор решения задачи

Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС

а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.

Решение:

а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC.

Пусть AM=MP=PC=z. По теореме о секущей и касательной,
AN^2=AM\cdot AP=2z^2,
CQ^2=CP\cdot CM=2z^2,
отсюда AN=CQ=\sqrt{2}z.

BN=BQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Значит, AB=BC и треугольник АВС — равнобедренный.

б) Пусть AQ — высота треугольника АВС, AQ\bot BC.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла В треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — равнобедренный, биссектриса угла В перпендикулярна стороне АС, и тогда О - точка пересечения высот треугольника АВС, то есть AO\cap CN=O.

Обозначим AN=CQ=y, \ BN=BQ=X, \ ON=OQ=r — радиус окружности.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ACQ и ABQ.

Из \vartriangle ACQ: AC^2=AQ^2+QC^2; {(3z)}^2=y^2+{AQ}^2

Из \vartriangle ABQ: AB^2=BQ^2+AQ^2; {(x+y)}^2=x^2+AQ^2

9z^2-2z^2=2z^2+2x\cdot z\sqrt{2}, отсюда ; \ \ y=z\sqrt{2}.

\vartriangle AON\sim \vartriangle ABQ по двум углам,

Выразим r из этого уравнения, зная, что  



Ответ: \frac{5\sqrt{7}}{2}.

Смотреть все задачи варианта