Путь при неравномерном движении.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ
Игорь Вячеславович Яковлев
Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение - то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая геометрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.
Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна
. Возьмём два момента времени: начальный момент
и конечный момент
. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна
.
Очевидно, что за промежуток времени
тело проходит путь:
(1)
Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 1).
 |
Рис. 1. Путь при равномерном движении |
Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель
в формуле (1) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель
- его горизонтальная сторона.
Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномерного движения.
Пусть скорость тела
зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке
график скорости выглядит, например, так (рис. 2):
 |
Рис. 2. Неравномерное движение |
Дальше мы рассуждаем следующим образом.
1. Разобьём наш промежуток времени
на небольшие отрезки величиной
.
2. Предположим, что на каждом таком отрезке
тело движется с постоянной скоростью
. То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией*: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и cкачком меняется.
На рис. 3 показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек
на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.
 |
Рис. 3. Ступенчатая аппроксимация |
Путь, пройденный за время
равномерного движения - это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого "ступенчатого" движения - это сумма площадей всех прямоугольников на графике.
3. Теперь устремляем
к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис. 2. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, пройденный телом за время от
до
. (рис. 4
 |
Рис. 4. Путь при неравномерном движении |
В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, полученной выше для случая равномерного движения.
|
Аппроксимация - это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать. |
|
Геометрическая интерпретация пути.Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.
Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае равноускоренного движения.
Задача. Тело, имеющее скорость
в начальный момент
, разгоняется с постоянным ускорением
. Найти путь, пройденный телом к моменту времени
.
Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:
(2)
График скорости - прямая, изображённая на рис. 5. Искомый путь есть площадь трапеции, расположенной под графиком скорости.
 |
Рис. 5. Путь при равноускоренном движении |
Меньшее основание трапеции равно
. Большее основание равно
. Высота трапеции равна
. Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту, имеем:

Эту формулу можно переписать в более привычном виде:

Она, разумеется, вам хорошо известна из темы "Равноускоренное движение".
Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра
(рис. 6). Максимальная скорость тела равна
. Найти путь, пройденный телом за время
.
Решение. Как вы знаете, площадь круга радиуса
равна
. Но в данной задаче необходимо учесть, что радиусы полуокружности имеют разные размерности: горизонтальный радиус есть время
, а вертикальный радиус есть скорость
.
Поэтому пройденный путь, вычисляемый как площадь полукруга, равен половине произведения
на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:

 |
Рис. 6. К задаче |
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Путь при неравномерном движении.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
06.09.2023