icon icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Простейшие текстовые задачи

Задание №1 в варианте ЕГЭ по математике профильного уровня – одно из самых легких. И тем не менее даже отличники часто ошибаются, решая такие задачи. Почему? – Потому что  не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку. Внимательно читайте условие и проверяйте решение. И не спешите.

Задачи в этой статье специально подобраны они так, чтобы представить все возможные типы заданий с таким номером. Часть из них взяты из Банка заданий ФИПИ, другие – авторские.

Вычисления, простейшие уравнения и пропорции

1. Стоимость 1 килограмма тыквы составляет 75 рублей. Антон купил тыкву весом 4 кг 400 г. Сколько рублей сдачи он должен получить с 350 рублей?

Купленная тыква стоит 4,4 \cdot 75 = 330 рублей. Сдача с 350 рублей составит 350 - 330 = 20 рублей.

2. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е. 60\cdot600=36000 метров. Скорость бегуна 36 км/ч.

3. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.

Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, он бы находился в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут, то есть 7\frac{3}{4}=\frac{31}{4} часа.

Задачи на округление (с недостатком, с избытком)

Вспомним правила округления чисел.
Мы применяем их для десятичных дробей, заменяя число на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр. Однако в задачах ЕГЭ мы руководствуемся не только правилами округления, но здравым смыслом.

4. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Правильный ответ: 12 шлюпок. Делим 775 на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек. И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ — 12 шлюпок. Ответ «одиннадцать, а остальные как-нибудь доплывут» — не принимается, это не фильм «Титаник».

В этой задаче мы округлили с избытком. Так же, как и в следующей.

5. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?

Чтобы покрасить 50 кв. метров. потолка, нужно 50 \cdot 240 = 12 000 г = 12 кг краски. Разделив 12 на 2,5, получим 4,8. Округляем в сторону большего! Неполную банку краски вам не продадут.

Ответ: 5.

6. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Больному нужно принять 0,5 \cdot 3 \cdot 21 = 31,5 г лекарства. В одной упаковке содержится 0,5 \cdot 10 = 5 г лекарства. Разделив 31,5 на 5, получим 6,3. Округляем до большего.

Ответ: 7.

А в следующих двух задачах мы округляем до меньшего (с недостатком).

7. Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

По условию, 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют 50\cdot1609 м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч. Округляя найденную величину, получаем 80.

8. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Никиты есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Наташе на день рождения?

Разделив 500 на 30, получим 16\frac{2}{3}. Округлив до меньшего, получим 16. Принято, что букет должен состоять из нечетного числа тюльпанов. Значит, ответ: 15.

Задачи на проценты

Во многих задачах используется понятие — процент.

Вспомним, что 1\% — это одна сотая часть от чего-либо.
Что такое дробь (то есть часть) от числа? Когда мы говорим «одна четверть от x» — это значит, что дробь \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} умножается на величину x. «2 \% от 60 минут» означают, что \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 100} надо умножить на 60.

Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.

Итак, 10\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 10}{\displaystyle 100}=0,01 от какой-либо величины;

25\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 25}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4};

60\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 60}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 5};

5\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}.

В задачах (да и в жизни) часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?
Повышение цены на 10\% означает, что к прежней цене x прибавили 0,1x. Наоборот, скидка на 25\% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25\%. Если первоначальная цена равна x, то новая цена составит x-0,25x=0,75x.

9. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10 \%?

Очевидно, что 10\% от 40 — это \left( 10/100 \right)\cdot 40=0,1\cdot 40=4.
Новая цена ручки составит 44 рубля. На 900 рублей можно купить 20 ручек.

Легко? Да, очень легко. Однако не будем слишком расслабляться. Даже среди детских задач под номером 1 встречаются интересные экземпляры.

Вот, например, задача №1, с которой справляются далеко не все выпускники:

10. Цена на электрический чайник была повышена на 16\% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Запомним важное правило: за 100\% принимается та величина, с которой мы сравниваем. Цена была повышена на 16\% по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100\%, новая цена — 116\%. Составляем пропорцию:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 100\%}{\displaystyle 116\%}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x}{\displaystyle 3480}

Решаем пропорцию. Получаем, что x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3480 \cdot 100}{\displaystyle 116}=3000 рублей.

Напомним, что пропорция — это равенство вида \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle c}{\displaystyle d}. Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть a \cdot d=b \cdot c.

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Например, из пропорции \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle x}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle c}{\displaystyle d} находим x:
a \cdot d=x \cdot c
x= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a \cdot d}{\displaystyle c}

Еще одна задача на проценты. Обратите на нее внимание — она не так проста, как может показаться на первый взгляд.

11. Налог на доходы составляет 13\% от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?

Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, у нее уже удержали, а выдали ей ее заработной платы. Составляем пропорцию:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9570}{\displaystyle x}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 87}{\displaystyle 100}

Решаем пропорцию:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9570 \cdot 100}{\displaystyle 87}

Получаем, что зарплата Марьи Константиновны составляет одиннадцать тысяч рублей. Возможно, эта печальная история бедной женщины поможет вам выбрать себе правильное будущее :-)

Следующая задача — самая сложная из тех, которые могут вам встретиться под номером 1.

12. В городе  N живет 200000 жителей. Среди них 15\% детей и подростков. Среди взрослых 45\% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

В чем сложность этой задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что «15 процентов» или «45 процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.

Получим, что дети и подростки составляют от жителей. Значит, их число — это 15\% от 200000, то есть \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 100} надо умножить на 200000. Получим, что городе N 30000 детей и подростков.

Следовательно, взрослых 170000.
Среди взрослых 45\% не работает. Теперь за 100\% мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55\% от 170000, то есть 93500.

Ответ: 93500.

 

Поделиться страницей

Это полезно

Сдай ЕГЭ по географии на 90+
- Что такое ЕГЭ по Географии?
- Сложно или легко сдавать ЕГЭ по географии на 80+?
- Как подготовится к ЕГЭ по географии?
Онлайн-курс Физика 100 баллов
Параметры на ЕГЭ
по профильной математике 2021