Простейшие текстовые задачи

Раньше это задание было в вариантах Профильного ЕГЭ под номером 1 и считалось одним из самых легких. И тем не менее даже отличники часто ошибаются, решая такие задачи. Почему? – Потому что  не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку. Внимательно читайте условие и проверяйте решение. И не спешите.

Задачи в этой статье специально подобраны так, чтобы представить все возможные типы заданий с таким номером. Часть из них взяты из Банка заданий ФИПИ, другие – авторские.

Вычисления, простейшие уравнения и пропорции

1. Стоимость 1 килограмма тыквы составляет 75 рублей. Антон купил тыкву весом 4 кг 400 г. Сколько рублей сдачи он должен получить с 350 рублей?

Купленная тыква стоит рублей. Сдача с 350 рублей составит рублей.

2. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е. метров. Скорость бегуна 36 км/ч.

3. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.

Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, он бы находился в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут, то есть часа.

Задачи на округление (с недостатком, с избытком)

Вспомним правила округления чисел.
Мы применяем их для десятичных дробей, заменяя число на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр. Однако в задачах ЕГЭ мы руководствуемся не только правилами округления, но здравым смыслом.

4. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Правильный ответ: 12 шлюпок. Делим 775 на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек. И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ — 12 шлюпок. Ответ «одиннадцать, а остальные как-нибудь доплывут» — не принимается, это не фильм «Титаник».

В этой задаче мы округлили с избытком. Так же, как и в следующей.

5. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?

Чтобы покрасить 50 кв. метров. потолка, нужно г = 12 кг краски. Разделив 12 на 2,5, получим 4,8. Округляем в сторону большего! Неполную банку краски вам не продадут.

Ответ: 5.

6. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Больному нужно принять г лекарства. В одной упаковке содержится г лекарства. Разделив 31,5 на 5, получим 6,3. Округляем до большего.

Ответ: 7.

А в следующих двух задачах мы округляем до меньшего (с недостатком).

7. Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

По условию, 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч. Округляя найденную величину, получаем 80.

8. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Никиты есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Наташе на день рождения?

Разделив 500 на 30, получим Округлив до меньшего, получим 16. Принято, что букет должен состоять из нечетного числа тюльпанов. Значит, ответ: 15.

Задачи на проценты

Во многих задачах используется понятие — процент.

Вспомним, что  — это одна сотая часть от чего-либо.
Что такое дробь (то есть часть) от числа? Когда мы говорим «одна четверть от » — это значит, что дробь умножается на величину . « от  минут» означают, что надо умножить на .

Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.

Итак, от какой-либо величины;

;

;

.

В задачах (да и в жизни) часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?
Повышение цены на  означает, что к прежней цене  прибавили . Наоборот, скидка на  означает, что прежняя цена уменьшилась на . Если первоначальная цена равна , то новая цена составит .

9. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10 ?

Очевидно, что 10 от 40 — это .
Новая цена ручки составит 44 рубля. На 900 рублей можно купить 20 ручек.

Легко? Да, очень легко. Однако не будем слишком расслабляться. Даже среди детских задач под номером 1 встречаются интересные экземпляры.

Вот, например, задача №1, с которой справляются далеко не все выпускники:

10. Цена на электрический чайник была повышена на 16 и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Запомним важное правило: за  принимается та величина, с которой мы сравниваем. Цена была повышена на  по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это , новая цена — . Составляем пропорцию:

Решаем пропорцию. Получаем, что рублей.

Напомним, что пропорция — это равенство вида . Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть .

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Например, из пропорции находим :

Еще одна задача на проценты. Обратите на нее внимание — она не так проста, как может показаться на первый взгляд.

11. Налог на доходы составляет от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?

Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, у нее уже удержали, а выдали ей ее заработной платы. Составляем пропорцию:

Решаем пропорцию:

Получаем, что зарплата Марьи Константиновны составляет одиннадцать тысяч рублей. Возможно, эта печальная история бедной женщины поможет вам выбрать себе правильное будущее :-)

Следующая задача — самая сложная из тех, которые могут вам встретиться под номером 1.

12. В городе  N живет 200000 жителей. Среди них детей и подростков. Среди взрослых не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

В чем сложность этой задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что « процентов» или « процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.

Получим, что дети и подростки составляют от жителей. Значит, их число — это от , то есть надо умножить на . Получим, что городе   детей и подростков.

Следовательно, взрослых 170000.

Среди взрослых не работает. Теперь за  мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55 от 170000, то есть 93500.

Ответ: 93500.