Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Касательная к окружности

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

$1$ . Угол $ACO$ равен $28^{\circ}$ , где $O$ — центр окружности. Его сторона $C \mkern -3mu A$ касается окружности. Найдите величину меньшей дуги $AB$ окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол $C \mkern -3mu AO$ — прямой. Из треугольника $ACO$ получим, что угол $AOC$ равен $62$ градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги $AB$ — тоже $62$ градуса.

Ответ: $62$ .

$2$ . Найдите угол $ACO$ , если его сторона $C \mkern -3mu A$ касается окружности, $O$ — центр окружности, а большая дуга $A \mkern -3mu D$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $116^{\circ}$ . Ответ дайте в градусах.

Это чуть более сложная задача. Центральный угол $AO \mkern -2mu D$ опирается на дугу $A \mkern -1mu D$ , следовательно, он равен $116$ градусов. Тогда угол $AO \mkern -1mu C$ равен $180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$ . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол $O \mkern -2mu AC$ — прямой. Тогда угол $AC \mkern -2mu O$ равен $90^{\circ}-64^{\circ}=26^{\circ}$ .

Ответ: $26$ .

$3$ . Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $92^{\circ}$ . Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B$ . Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус $O \mkern -3mu B$ в точку касания, а также радиус $O \mkern -3mu A$ . Угол $O \mkern -3mu B \mkern -2mu C$ равен $90^{\circ}$ . Треугольник $BO \mkern -3mu A$ — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол $O \mkern -3mu B \mkern -3mu A$ равен $44$ градуса, и тогда угол $C \mkern -3mu B \mkern -3mu A$ равен $46$ градусов, то есть половине угловой величины дуги $AB$ .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

$5$ . К окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны $6$ , $8$ , $10$ . Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника $ABC$ складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: $24$ .

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

$6$ . Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна $5$ . Его периметр равен $10$ . Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку $O$ — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку $O$ с вершинами $A, B, C, D, E$ . Получились треугольники $AOB, BOC, CO \mkern -2mu D, DO \mkern -2mu E$ и $EO \mkern -3mu A$ .
Очевидно, что площадь многоугольника $S=S_{AO \mkern -2mu B} + S_{BOC}+S_{C \mkern -2mu O \mkern -2mu D}+S_{DO \mkern -2mu E}+S_{EO \mkern -3mu A}$ .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Ответ: $1$ .

Касательная к окружности

Это полезно