Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.
. Угол
равен
, где
— центр окружности. Его сторона
касается окружности. Найдите величину меньшей дуги
окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника
получим, что угол
равен
градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги
— тоже
градуса.
Ответ: .
. Найдите угол
, если его сторона
касается окружности,
— центр окружности, а большая дуга
окружности, заключенная внутри этого угла, равна
. Ответ дайте в градусах.
Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу
, следовательно, он равен
градусов. Тогда угол
равен
. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол
— прямой. Тогда угол
равен
.
Ответ: .
. Хорда
стягивает дугу окружности в
. Найдите угол
между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку
. Ответ дайте в градусах.
Проведем радиус в точку касания, а также радиус
. Угол
равен
. Треугольник
— равнобедренный. Нетрудно найти, что угол
равен
градуса, и тогда угол
равен
градусов, то есть половине угловой величины дуги
.
Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
. К окружности, вписанной в треугольник
, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны
,
,
. Найдите периметр данного треугольника.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.
Ответ: .
Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:
. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна
. Его периметр равен
. Найдите радиус этой окружности.
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку с вершинами
. Получились треугольники
и
.
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?
Ответ: .