Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

$1$ . Угол $ACO$ равен $28^{\circ}$ , где $O$ — центр окружности. Его сторона $C \mkern -3mu A$ касается окружности. Найдите величину меньшей дуги $AB$ окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол $C \mkern -3mu AO$ — прямой. Из треугольника $ACO$ получим, что угол $AOC$ равен $62$ градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги $AB$ — тоже $62$ градуса.

Ответ: $62$ .

$2$ . Найдите угол $ACO$ , если его сторона $C \mkern -3mu A$ касается окружности, $O$ — центр окружности, а большая дуга $A \mkern -3mu D$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $116^{\circ}$ . Ответ дайте в градусах.

Это чуть более сложная задача. Центральный угол $AO \mkern -2mu D$ опирается на дугу $A \mkern -1mu D$ , следовательно, он равен $116$ градусов. Тогда угол $AO \mkern -1mu C$ равен $180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$ . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол $O \mkern -2mu AC$ — прямой. Тогда угол $AC \mkern -2mu O$ равен $90^{\circ}-64^{\circ}=26^{\circ}$ .

Ответ: $26$ .

$3$ . Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $92^{\circ}$ . Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B$ . Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус $O \mkern -3mu B$ в точку касания, а также радиус $O \mkern -3mu A$ . Угол $O \mkern -3mu B \mkern -2mu C$ равен $90^{\circ}$ . Треугольник $BO \mkern -3mu A$ — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол $O \mkern -3mu B \mkern -3mu A$ равен $44$ градуса, и тогда угол $C \mkern -3mu B \mkern -3mu A$ равен $46$ градусов, то есть половине угловой величины дуги $AB$ .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

$5$ . К окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны $6$ , $8$ , $10$ . Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника $ABC$ складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: $24$ .

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

$6$ . Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна $5$ . Его периметр равен $10$ . Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку $O$ — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку $O$ с вершинами $A, B, C, D, E$ . Получились треугольники $AOB, BOC, CO \mkern -2mu D, DO \mkern -2mu E$ и $EO \mkern -3mu A$ .
Очевидно, что площадь многоугольника $S=S_{AO \mkern -2mu B} + S_{BOC}+S_{C \mkern -2mu O \mkern -2mu D}+S_{DO \mkern -2mu E}+S_{EO \mkern -3mu A}$ .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Ответ: $1$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.