Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Квадрат — определение и свойства

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
$AB=BC=CD=AD;$
$\angle A= \angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }.$
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
$AC=BD, AC \perp BD.$
Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
$AO=OC, BO=OD.$
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
$\angle BAC=\angle DAC, \angle ABD=\angle CBD, \angle BCA=\angle DCA,$
$\angle CDB=\angle ADB.$
Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
$\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=DOA.$

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: $P=4a.$

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S=a^2$ .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$ , то есть
$d=\sqrt{2} \cdot a$ .

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2};$

$AC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}, AC=a\sqrt{2},$ что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

$\displaystyle r=\frac{1}{2}\cdot a$

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда $OP \perp AB, ON \perp CD,$ поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

$2r=a, r=a/2$ , что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a.$

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме $1:d=a\sqrt{2}.$

Тогда $R=a\frac{\sqrt{2}}{2}$ , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

$P=4a=4\sqrt{2}R=8r.$

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна $\sqrt{8}$ .

Решение:

Мы знаем, что $d=\sqrt{2} \cdot a$ . Тогда $a=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle d}{\displaystyle \sqrt{2}}= 2$ .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

$\displaystyle d=\sqrt{2}\cdot a \Rightarrow a=\frac{d}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Тогда по формуле площади квадрата:

$\displaystyle S=a^{2}=\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}=\frac{1}{2}=0,5.$

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}d^{2}=0,5.$

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной $\sqrt{8}$ .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

$\displaystyle R=\frac{d}{2}=a\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{8}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2.$

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса $4$ .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: $a=2r=8$ .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен $14\sqrt{2}$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

$a=2r=28\sqrt{2}.$

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

$d=a\sqrt{2}=28\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=56.$

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен $11\sqrt{2}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

$\displaystyle r=\frac{a}{2}; R=\frac{d}{2}; d=a\sqrt{2}.$

Поэтому $R=r\sqrt{2}=11\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=22.$

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата: $a=\sqrt{S}=\sqrt{9}=3.$

Периметр квадрата со стороной 3 равен: $P=4a=12.$

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью $4\pi$ .

Решение:

Площадь круга $S_{kp}=\pi r^{2}=4\pi ,$ откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными $\sqrt{2}$ .

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна $\sqrt{2}$ ., то сторона малого квадрата равна $2\sqrt{2}$ . А сторона квадрата ABCD равна $2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4.$

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите $r \sqrt{10}$ .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна $\sqrt{10}$ . Тогда радиус вписанной окружности равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{10}}{\displaystyle 2}$ . В ответ запишем $r \sqrt{10}$ .

Ответ: 5.

Квадрат — определение и свойства

Это полезно