Квадрат — определение и свойства
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Перечислим свойства квадрата:
- Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
- Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны:
.
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на
, то есть
.
Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.
1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна
.
Мы знаем, что
. Тогда
.
2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной
.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.
Ответ:
.
3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса
.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.
Ответ:
.
4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат
, считая стороны квадратных клеток равными
.

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.
Ответ:
.
5. Найдите радиус
окружности, вписанной в четырехугольник
. В ответе укажите
.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник
— квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например,
. Она равна
. Тогда радиус вписанной окружности равен
. В ответ запишем
.
Ответ:
.