Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Квадрат — определение и свойства

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: $S=a^2$ .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$ , то есть
$d=\sqrt{2} \cdot a$ .

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна $\sqrt{8}$ .

Мы знаем, что $d=\sqrt{2} \cdot a$ . Тогда $a=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle d}{\displaystyle \sqrt{2}}= 2$ .

2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной $\sqrt{8}$ .

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: $2$ .

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса $4$ .

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: $8$ .

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат $ABC \mkern -3mu D$ , считая стороны квадратных клеток равными $\sqrt{2}$ .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: $2$ .

5. Найдите радиус $r$ окружности, вписанной в четырехугольник $ABC \mkern -3mu D$ . В ответе укажите
$r \sqrt{10}$ .

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник $ABC \mkern -3mu D$ — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, $AB$ . Она равна $\sqrt{10}$ . Тогда радиус вписанной окружности равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{10}}{\displaystyle 2}$ . В ответ запишем $r \sqrt{10}$ .

Ответ: $5$ .

Квадрат — определение и свойства

Это полезно