icon icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Квадрат и его свойства

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: S=a^2.
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на \sqrt{2}, то есть
d=\sqrt{2} \cdot a.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна \sqrt{8}.

Мы знаем, что d=\sqrt{2} \cdot a. Тогда a=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle d}{\displaystyle \sqrt{2}}= 2.

2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной \sqrt{8}.

Рисунок к задаче 2

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: 2.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Рисунок к задаче 3

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 8.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABC \mkern -3mu D, считая стороны квадратных клеток равными \sqrt{2}.

Рисунок к задаче 4

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 2.

5. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABC \mkern -3mu D. В ответе укажите
r \sqrt{10}.

Рисунок к задаче 5

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABC \mkern -3mu D — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB. Она равна \sqrt{10}. Тогда радиус вписанной окружности равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{10}}{\displaystyle 2} . В ответ запишем r \sqrt{10}.

Ответ: 5.

Поделиться страницей

Это полезно

Сдай ЕГЭ по географии на 90+
- Что такое ЕГЭ по Географии?
- Сложно или легко сдавать ЕГЭ по географии на 80+?
- Как подготовится к ЕГЭ по географии?
Онлайн-курс Физика 100 баллов
Параметры на ЕГЭ
по профильной математике 2021