Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть $B \mkern -3mu M$ и $C \mkern -3mu K$ — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне $B \mkern -1mu C$ . Сумма углов $ABC$ и $B \mkern -1mu C \mkern -2mu D$ равна $180^{\circ}$ . Углы $O \mkern -3mu BC$ и $OC \mkern -3mu B$ — половинки углов $ABC$ и $B \mkern -1mu C \mkern -2mu D$ . Значит, сумма углов $ABC$ и $B \mkern -1mu C \mkern -2mu D$ равна $90$ градусов. Из треугольника $BO \mkern -1mu C$ находим, что угол $BO \mkern -1mu C$ — прямой.
Ответ: $90$ .

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна $5$ . Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы $D \mkern -2mu AE$ и $B \mkern -2mu E \mkern -2mu A$ , а также $C \mkern -3mu E \mkern -2mu D$ и $A \mkern -2mu D \mkern -2mu E$ — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол $D \mkern -2mu AE$ равен углу $B \mkern -2mu E \mkern -2mu A$ , а угол $C \mkern -3mu E \mkern -2mu D$ — углу $A \mkern -2mu D \mkern -2mu E$ .
Получаем, что треугольники $A \mkern -2mu B \mkern -2mu E$ и $C \mkern -2mu D \mkern -2mu E$ — равнобедренные, то есть $B \mkern -2mu E=AB$ , а $EC=C \mkern -3mu D$ .
Тогда $BC = 5+5=10$ .

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

$S=a \cdot h$ , где $a$ — основание параллелограмма, $h$ — его высота.
$S=a \cdot b \cdot \sin \varphi$ , где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, $\varphi$ — угол между ними.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Параллелограмм иu0026nbsp;его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Это полезно