Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:
Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.
1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Пусть и
— биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне
. Сумма углов
и
равна
. Углы
и
— половинки углов
и
. Значит, сумма углов
и
равна
градусов. Из треугольника
находим, что угол
— прямой.
Ответ: .
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.
Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.
2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна . Найдите его большую сторону.
Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.
Углы и
, а также
и
— накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол
равен углу
, а угол
— углу
.
Получаем, что треугольники и
— равнобедренные, то есть
, а
. Тогда
.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Запишем формулы площади параллелограмма:
, где
— основание параллелограмма,
— его высота.
, где
и
— стороны параллелограмма,
— угол между ними.
И еще одна формула.
, где
и
— диагонали параллелограмма,
— угол между ними.