icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
banner

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

previous arrow
next arrow
Slider

Например, уравнения (x − 3)2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства и равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства и также равносильны при . Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства и имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель На что заменить
logh f − logh g (h − 1) (f − g)
logh f − 1 (h − 1) (f − h)
logh f (h − 1) (f − 1)
h f − hg (h − 1) (f − g)
h f − 1 (h − 1) · f
f h − gh (f − g) · h
f, g — функции от x.
h — функция или число.

 

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), - обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида  Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1.

ОДЗ неравенства:

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0

Решим его методом интервалов:

Ответ:

2.

Начнем с ОДЗ.

Заметим, что выражение положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:


Поделим обе части неравенства на 5x > 0:

Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2x − 1 в виде степени с основанием 3.

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на (h − 1) (f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Оценим . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Ответ:

 

3.

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log2x = t

Теперь обе части неравенства можно сократить на 5t > 0.


Поскольку , выражение 2t−1 можно записать как 3(t−1)·log32

Заметим, что log32 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log32 − 2.
Вернемся к переменной x:

или

Ответ:

4. Еще одна задача из той же серии.

Запишем ОДЗ:

Умножим обе части неравенства на . Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Поделим обе части неравенства на

Хорошо бы сделать замену. Пусть log2(4x) = t. Тогда:

Неравенство примет вид:


Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:

Применим метод рационализации.

Оценим

4 < 7 < 8;

или  

Ответ:

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log h f - 1) - на (h - 1)( f - h).

Поскольку при x ∈ ОДЗ, а > 0 при всех x, получим:

С учетом ОДЗ:

Ответ: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

\frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x+1}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{{\rm 4}}^{{\rm x+1}}{\rm -}{\rm 9}}{{{\rm 9}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 3.}

\frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 9+9}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}

\frac{{{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 3}}^{{\rm x}}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на {{\rm 2}}^{{\rm 2}{\rm x}}{\rm \textgreater 0.}

Получим:

\newline \frac{3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4}{3^{2x}-3}\leq 0 \newline \, \newline 3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4=0 \newline \, \newline \frac{3\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x+1 \right )\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x-\frac{4}{3} \right )}{3^{2x}-3}\leq 0

\newline \left ( \frac{3}{2} \right )^x=t; \, \,3t^2-t-4=0 \newline \, \newline D=1+48=49, \, \, \, \sqrt{D}=7, \newline \, \newline t=\frac{1\pm 7}{6}; \, t_1=-1; \, t_2=\frac{4}{3} \newline \, \newline 3t^2-t-4=3\left ( t+1 \right )\left ( t-\frac{4}{3} \right )

Поскольку {\left(\frac{3}{2}\right)}^x \textgreater 0 , поделим обе части неравенства на {\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1 \textgreater 0.

\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-\frac{4}{3}}{3^{2x}-3}\le 0;

\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-{(\frac{3}{2})}^{{{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }}}{3^{2x}-3^1}

Применяя метод рационализации, множитель вида h^f-h^g заменяем на

\left(h-1\right)\left(f-g\right).\ Получим:

\newline \frac{\left ( \frac{3}{2} -1\right )\left ( x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3} \right )}{\left ( 3-1 \right )\left ( 2x-1 \right )} \leq 0 \newline \, \newline \frac{x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3}}{x-\frac{1}{2}}\leq 0

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить \frac{1}{2} и {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ } ?

Что больше? Давайте представим \frac{1}{2} как логарифм с основанием \frac{3}{2}:

\frac{1}{2}={{log}_{\frac{3}{2}} {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ }={{log}_{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{3}{2}}\ }

\frac{4}{3}\ \vee \sqrt{\frac{3}{2}};

\ \frac{16}{9}\ \vee \frac{3}{2};

\ 32\ \vee \ 27;

32 \textgreater 27,\

Значит, {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ } \textgreater \frac{1}{2}

Ответ: x\in \left(\frac{1}{2};\ {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }\right].

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Решите неравенство:

{{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2

{{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2\ \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}3-x \textgreater 0 \\3-x\ne 1 \\\frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2} \textgreater 0 \\{{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }+2\ge 0 \end{array}\right.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что {\left(a-b\right)}^2={\left(b-a\right)}^2\ .

Используем также условия \ 3-x \textgreater 0;\ \ x+4 \textgreater 0.

\left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x+4 \textgreater 0 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)-{log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2+2\ge 0 \end{array}\right. \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x \textgreater -4 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)\ge 0 \end{array}\right.

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, {{log}_a {\left(b\left(x\right)\right)}^2=2{{log}_a \left|b\left(x\right)\right|\ }\ }.

Поскольку 3-x \textgreater 0,\ {\ log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2=2{{log}_{3-x} \left|3-x\right|=\ }2{{log}_{3-x} \left(3-x\right)=2.\ }

Согласно методу замены множителя, выражение {log}_{3-x}\left(x+4\right)\ заменим

на \left(3-x-1\right)\left(x+4-1\right).

Получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}x\ne 2 \\-4 \textless x \textless 3 \\\left(2-x\right)\left(x+3\right)\ge 0 \end{array}\right.

Решить ее легко.

Ответ: x\in \left[-3;2\right).

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Решите неравенство:

{{lg}^2 \frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)}{5} \textless {lg}^2\frac{x+5}{20}\ }

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов: a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)

\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}+lg\frac{x+5}{20} \right ) \textless 0

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

\left\{ \begin{array}{c}lg\frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)\cdot 20}{5\cdot \left(x+5\right)}\cdot {lg \left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}\right)\ } \textless 0 \\{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right) \textgreater 0 \\x+5 \textgreater 0 \end{array}\right.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение (x+2)^2 должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства (x+2)^2\ \textgreater \ 0\ — это все числа, кромеx=\ -\ 2.

Получим:

\left\{ \begin{array}{c}lg\left ( 4\cdot\left ( x+2 \right )^2 \right ) \cdot lg \left ( \frac{\left ( x+2 \right )^2 \cdot \left ( x+5 \right )^2}{100} \right ) \textless 0\\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.

По методу рационализации, каждый из множителей вида {{log}_h f\ } заменяем на \left(h-1\right)\left(f-1\right).

\newline \left\{ \begin{array}{c}\left(10-1\right)\cdot \left(4{\left(x+2\right)}^2-1\right)\cdot \left(10-1\right)\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}-1\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+4-1\right)\left(2x+4+1\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)-10\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)+10\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline\textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right)\cdot \left(x^2+7x+20\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.

Просто равносильные преобразования. Выражение x^2+7x+20 положительно всегда — так как в уравнении x^2+7x+20=0 дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: x\in \left(-5;-\frac{5}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2};0\right).

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Поделиться страницей

Это полезно

Интенсив по математике
1 – 5 июня
Самые сложные задания ЕГЭ по математике. Задачи №14, №16, №18, №19 (+10 баллов)
Курс на следующий учебный год
ЕГЭ vs вариант МФТИ.
Что проще?