Slider

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3)2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства и равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства и также равносильны при . Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства и имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель На что заменить
logh f − logh g (h − 1) (f − g)
logh f − 1 (h − 1) (f − h)
logh f (h − 1) (f − 1)
h f − hg (h − 1) (f − g)
h f − 1 (h − 1) · f
f h − gh (f − g) · h
f, g — функции от x.
h — функция или число.

 

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), - обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида  Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1.

ОДЗ неравенства:

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0

Решим его методом интервалов:

Ответ:

2.

Начнем с ОДЗ.

Заметим, что выражение положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:


Поделим обе части неравенства на 5x > 0:

Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2x − 1 в виде степени с основанием 3.

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на (h − 1) (f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Оценим . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Ответ:

 

3.

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log2x = t

Теперь обе части неравенства можно сократить на 5t > 0.


Поскольку , выражение 2t−1 можно записать как 3(t−1)·log32

Заметим, что log32 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log32 − 2.
Вернемся к переменной x:

или

Ответ:

4. Еще одна задача из той же серии.

Запишем ОДЗ:

Умножим обе части неравенства на . Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Поделим обе части неравенства на

Хорошо бы сделать замену. Пусть log2(4x) = t. Тогда:

Неравенство примет вид:


Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:

Применим метод рационализации.

Оценим

4 < 7 < 8;

или  

Ответ:

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log h f - 1) - на (h - 1)( f - h).

Поскольку при x ∈ ОДЗ, а > 0 при всех x, получим:

С учетом ОДЗ:

Ответ: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

\frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x+1}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{{\rm 4}}^{{\rm x+1}}{\rm -}{\rm 9}}{{{\rm 9}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 3.}

\frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 9+9}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}

\frac{{{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 3}}^{{\rm x}}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на {{\rm 2}}^{{\rm 2}{\rm x}}{\rm \textgreater 0.}

Получим:

\newline \frac{3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4}{3^{2x}-3}\leq 0 \newline \, \newline 3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4=0 \newline \, \newline \frac{3\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x+1 \right )\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x-\frac{4}{3} \right )}{3^{2x}-3}\leq 0

\newline \left ( \frac{3}{2} \right )^x=t; \, \,3t^2-t-4=0 \newline \, \newline D=1+48=49, \, \, \, \sqrt{D}=7, \newline \, \newline t=\frac{1\pm 7}{6}; \, t_1=-1; \, t_2=\frac{4}{3} \newline \, \newline 3t^2-t-4=3\left ( t+1 \right )\left ( t-\frac{4}{3} \right )

Поскольку {\left(\frac{3}{2}\right)}^x \textgreater 0 , поделим обе части неравенства на {\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1 \textgreater 0.

\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-\frac{4}{3}}{3^{2x}-3}\le 0;

\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-{(\frac{3}{2})}^{{{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }}}{3^{2x}-3^1}

Применяя метод рационализации, множитель вида h^f-h^g заменяем на

\left(h-1\right)\left(f-g\right).\ Получим:

\newline \frac{\left ( \frac{3}{2} -1\right )\left ( x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3} \right )}{\left ( 3-1 \right )\left ( 2x-1 \right )} \leq 0 \newline \, \newline \frac{x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3}}{x-\frac{1}{2}}\leq 0

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить \frac{1}{2} и {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ } ?

Что больше? Давайте представим \frac{1}{2} как логарифм с основанием \frac{3}{2}:

\frac{1}{2}={{log}_{\frac{3}{2}} {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ }={{log}_{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{3}{2}}\ }

\frac{4}{3}\ \vee \sqrt{\frac{3}{2}};

\ \frac{16}{9}\ \vee \frac{3}{2};

\ 32\ \vee \ 27;

32 \textgreater 27,\

Значит, {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ } \textgreater \frac{1}{2}

Ответ: x\in \left(\frac{1}{2};\ {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }\right].

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Решите неравенство:

{{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2

{{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2\ \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}3-x \textgreater 0 \\3-x\ne 1 \\\frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2} \textgreater 0 \\{{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }+2\ge 0 \end{array}\right.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что {\left(a-b\right)}^2={\left(b-a\right)}^2\ .

Используем также условия \ 3-x \textgreater 0;\ \ x+4 \textgreater 0.

\left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x+4 \textgreater 0 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)-{log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2+2\ge 0 \end{array}\right. \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x \textgreater -4 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)\ge 0 \end{array}\right.

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, {{log}_a {\left(b\left(x\right)\right)}^2=2{{log}_a \left|b\left(x\right)\right|\ }\ }.

Поскольку 3-x \textgreater 0,\ {\ log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2=2{{log}_{3-x} \left|3-x\right|=\ }2{{log}_{3-x} \left(3-x\right)=2.\ }

Согласно методу замены множителя, выражение {log}_{3-x}\left(x+4\right)\ заменим

на \left(3-x-1\right)\left(x+4-1\right).

Получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}x\ne 2 \\-4 \textless x \textless 3 \\\left(2-x\right)\left(x+3\right)\ge 0 \end{array}\right.

Решить ее легко.

Ответ: x\in \left[-3;2\right).

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Решите неравенство:

{{lg}^2 \frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)}{5} \textless {lg}^2\frac{x+5}{20}\ }

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов: a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)

\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}+lg\frac{x+5}{20} \right ) \textless 0

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

\left\{ \begin{array}{c}lg\frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)\cdot 20}{5\cdot \left(x+5\right)}\cdot {lg \left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}\right)\ } \textless 0 \\{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right) \textgreater 0 \\x+5 \textgreater 0 \end{array}\right.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение (x+2)^2 должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства (x+2)^2\ \textgreater \ 0\ — это все числа, кромеx=\ -\ 2.

Получим:

\left\{ \begin{array}{c}lg\left ( 4\cdot\left ( x+2 \right )^2 \right ) \cdot lg \left ( \frac{\left ( x+2 \right )^2 \cdot \left ( x+5 \right )^2}{100} \right ) \textless 0\\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.

По методу рационализации, каждый из множителей вида {{log}_h f\ } заменяем на \left(h-1\right)\left(f-1\right).

\newline \left\{ \begin{array}{c}\left(10-1\right)\cdot \left(4{\left(x+2\right)}^2-1\right)\cdot \left(10-1\right)\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}-1\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+4-1\right)\left(2x+4+1\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)-10\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)+10\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline\textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right)\cdot \left(x^2+7x+20\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.

Просто равносильные преобразования. Выражение x^2+7x+20 положительно всегда — так как в уравнении x^2+7x+20=0 дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: x\in \left(-5;-\frac{5}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2};0\right).

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных