Центр подготовки к ЕГЭ > Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства). В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3)² = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения $x^{2}=-1$ и $\sqrt{x}=-2$ также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения $\sqrt{2x-1}=x-2$ и $2x-1=(x-2)^{2}$ не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

Например, неравенства $(x-1)(x-3)>0$ и $\frac{x-1}{x-3}>0$ равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства $log_{2}x>log_{2}5$ и $x> 5$ также равносильны при $x> 0$ . Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства $log_{2}x-log_{2}5>0$ и $x-5>0$ имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение $log_{2}x-log_{2}5$ будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение $log_{2}x-log_{2}5$ , то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида $log_{a}f-log_{a}g$ , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель	На что заменить
log_h f − log_h g	(h − 1) (f − g)
log_h f − 1	(h − 1) (f − h)
log_h f	(h − 1) (f − 1)
h^f − h^g	(h − 1) (f − g)
h^f − 1	(h − 1) · f
f^h − g^h	(f − g) · h
f, g — функции от x. h — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), – обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1. $log_{2-x}(x+2)\cdot log_{x+3}(3-x)\leq 0$ .

ОДЗ неравенства: $x\in (-2;1)\cup (1;2)$ .

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель $log_{2-x}(x+2)$ заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида $log_{x+3}(3-x)$ заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0.

Решим его методом интервалов:

Ответ: $x\in (-2;-1]\cup (1;2)$ .

2. $\frac{10^{x}}{2\cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}\cdot log_{3}(x+2)}\leq \frac{(15\cdot 3^{x})^{x}}{9\cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}\cdot log_{3}(x+2)}.$

Начнем с ОДЗ.

$\left\{\begin{matrix} x\neq 0;\\ x>-2;\\ x\neq -1. \end{matrix}\right.$

Заметим, что выражение $log^{2}_{2}(x+1)^{2}$ положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

$(15\cdot 3^{x})^{x}=5^{x}\cdot 3^{x}\cdot 3^{x^{2}}=5^{x}\cdot 3^{x^{2}+x}$
Поделим обе части неравенства на 5^x > 0:

$\frac{2^{x}}{2log_{3}(x+2)}\leq \frac{3^{x^{2}+x}}{9log_{3}(x+2)}\: \: \Leftrightarrow \\ \, \, \\ \: \: \\ \Leftrightarrow \frac{2^{x-1}-3^{x^{2}+x-2}}{log_{3}(x+2)}\leq 0\: \: \Leftrightarrow \\ \, \, \\ \: \: \\ \Leftrightarrow \frac{2^{x-1}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}\leq 0.$ Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2^{x − 1} в виде степени с основанием 3.

$2^{x-1}=3^{log_{3}2^{x-1}}=3^{(x-1)log_{3}2}.$ Неравенство примет вид:

$\frac{3^{(x-1)log_{3}2}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}\leq 0.$ Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h^f −h^g можно заменить на (h − 1) (f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

$\frac{(x-1)(x-(log_{3}2-2))}{x+1}\geq 0.$ Оценим $log_{3}2-2$ . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

$log_{3}1<log_{3}2<log_{3}3;$ $0<log_{3}2<1$ $-2<log_{3}2-2<-1$ Ответ: $[log_3 2-2;-1)\cup[1;+\infty).$

3. $\frac{10^{log_{2}x}}{2x^{2}(x+1)}\leq \frac{(15\cdot 3^{log_{2}x})^{log_{2}x}}{9x^{2}(x+1)}$ .

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

$\left\{\begin{matrix} x>0;\\ x+1\neq 0. \end{matrix}\right.$ Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x² тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще:

$\frac{10^{log_{2}x}}{2}\leq \frac{15^{log_{2}x}\cdot 3^{log^{2}_{2}x}}{9}$ Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂x = t:

$\frac{2^{t}\cdot 5^{t}}{2}\leq \frac{3^{t}\cdot 5^{t}\cdot 3^{t^{2}}}{9}$ Теперь обе части неравенства можно сократить на 5^t > 0:

$2^{t-1}\leq 3^{t^{2}+t-2};$
$2^{t-1}-3^{(t+2)(t-1)}\leq 0.$

Поскольку $2=3^{log_{3}2}$ , выражение 2^t−1 можно записать как 3^{(t−1)·log₃2}:

$3^{(t-1)\cdot log_{3}2}\leq 3^{(t+2)(t-1)};$ $(t-1)\cdot log_{3}2\leq (t-1)(t+2);$ $(t-1)\cdot log_{3}2-(t-1)(t+2)\leq 0.$ $(t-1)(log_{3}2-t-2)\leq 0;$ $(t-1)(t-(log_{3}2-2))\leq 0.$ Заметим, что log₃2 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.

Вернемся к переменной x:

$\: \\ log_{2}x\geq 1\\ x\geq 2;$ или $\: \\ log_{2}x\leq log_{3}2-2;\\ 0<x\leq 2^{log_{3}2-2}.$

Ответ: $x \in (0;2^{log_3 2-2}]\cup[2;+\infty).$

4. Еще одна задача из той же серии:

$\frac{14^{log_{2}(4x)}}{7\cdot log^{2}_{2}(32x)\cdot log_{2}(0,25x)}\geq \frac{(4\cdot 2^{log_{2}(4x)})^{log_{2}(4x)}}{4\cdot log^{2}_{2}(32x)\cdot log_{2}(0,25x)}.$ Запишем ОДЗ:

$\left\{\begin{matrix} x>0;\\ 32x\neq 1;\\ 0,25x\neq 1. \end{matrix}\right.$

$x\in \left ( 0;\frac{1}{32} \right )\cup \left ( \frac{1}{32};4 \right )\cup \left (4;+\infty \right ) .$

Умножим обе части неравенства на $log^{2}_{2}32x>0$ . Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части:

$\frac{7^{log_{2}(4x)}\cdot 2^{log_{2}(4x)}}{7\cdot log_{2}(0,25x)}\geq \frac{4^{log_{2}(4x)}\cdot 2^{(log_{2}(4x))^{2}}}{4\cdot log_{2}(0,25x)}$
Поделим обе части неравенства на $2^{log_{2}(4x)}>0.$

$\frac{7^{log_{2}(4x)}}{7\cdot log_{2}(0,25x)}\geq \frac{2^{(log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)}}{4\cdot log_{2}(0,25x)};$

$\frac{7^{log_{2}(4x)-1}-2^{\left ((log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)-2 \right )}}{ log_{2}(0,25x)} \geq 0$
Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4x) = t. Тогда:

$log_{2}x=t-2;$

$log_{2}(0,25x)=log_{2}\left ( \frac{1}{4} \right )+log_{2}x=log_{2}x-2=t-4.$ Неравенство примет вид:

$\frac{7^{t-1}-2^{t^{2}+t-2}}{t-4}\geq 0.$
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2: $7=2^{log_{2}7}.$

$\frac{2^{(t-1)\cdot log_{2}7}-2^{(t-1)(t+2)}}{t-4}\geq 0.$ Применим метод рационализации:

$\frac{(t-1)\cdot log_{2}7-(t-1)(t+2)}{t-4}\geq 0;$

$\frac{(t-1) (log_{2}7-t-2)}{t-4}\geq 0;$

Оценим $log_{2}7-2:$

4 < 7 < 8;

$log_{2}4<log_{2}7<log_{2}8;$

$2<log_{2}7<3$

$0<log_{2}7-2<1$

$t\leq log_{2}7-2\\ \, \\ log_{2}(4x)\leq log_{2}7-2;\\ \, \\ log_{2}(4x)\leq \log_{2}\frac{7}{4};\\ \, \\ 0<x\leq \frac{7}{16};$ или $1\leq t<4;\\ \, \\ 1\leq log_{2}(4x)<4;\\ \, \\ log_{2}2\leq log_{2}(4x)<log_{2}16;\\ \, \\ \frac{1}{2}\leq x<4;$

Ответ: $x\in \left ( 0;\frac{1}{32} \right )\cup \left ( \frac{1}{32};\frac{7}{16} \right ]\cup \left [ \frac{1}{2};4 \right ).$

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

$\frac{log_{2^{\left ( \left ( x-1 \right )^{2}-1 \right )}}\left ( log_{(2x^{2}+10x+15)}(x^{2}+2x) \right )}{log_{2^{\left ( \left ( x-1 \right )^{2}-1 \right )}}\left ( x^{2}+10x+26 \right )}\geq 0.$ Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю

$\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}-1\neq 0;\\ x(x+2)>0;\\ x\neq -5. \end{matrix}\right.$

$x\in \left ( -\infty ;-5 \right )\cup (-5;-2)\cup (0;+\infty ).$

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию:

$\frac{log_{c}b}{log_{c}a}=log_{a}b;$

$log_{x^{2}+10x+26}\left ( log_{2x^{2}+10x+15} \left ( x^{2}+2x \right )\right )\geq 0.$

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.

Напомним, что множитель log_h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log_h f - 1) - на (h - 1)( f - h):

$(x^{2}+10x+25)(log_{2x^{2}+10x+15}(x^{2}+2x)-1)\geq 0;$

$(x+5)^2(2x^2+10x+14)(-x^2-8x-15)\geq 0.$

Поскольку $(x+5)^{2}>0$ при x ∈ ОДЗ, а $2x^{2}+10x+14>0$ при всех x, получим:

$x^2+8x+15\leq 0.$

С учетом ОДЗ:

Ответ: x ∈ (-5; -3].

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство: $\displaystyle \frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x+1}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{{\rm 4}}^{{\rm x+1}}{\rm -}{\rm 9}}{{{\rm 9}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 3.}$

$\displaystyle \frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 9+9}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}.$

$\displaystyle \frac{{{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 3}}^{{\rm x}}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}.$

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на ${{\rm 2}}^{{\rm 2}{\rm x}}{\rm \textgreater 0.}$

Получим:

$\displaystyle \newline \frac{3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4}{3^{2x}-3}\leq 0;$

$\displaystyle \newline \, \newline 3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4=0;$

$\displaystyle \newline \, \newline \frac{3\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x+1 \right )\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x-\frac{4}{3} \right )}{3^{2x}-3}\leq 0.$

Разложим числитель на множители.

Сделаем замену:

$\displaystyle \newline \left ( \frac{3}{2} \right )^x=t; \, \,3t^2-t-4=0;$

$\displaystyle \newline \, \newline D=1+48=49, \, \, \, \sqrt{D}=7;$

$\displaystyle \newline \, \newline t=\frac{1\pm 7}{6}; \, t_1=-1; \, t_2=\frac{4}{3};$

$\displaystyle \newline \, \newline 3t^2-t-4=3\left ( t+1 \right )\left ( t-\frac{4}{3} \right ).$

Вернемся к неравенству:

$\displaystyle \frac{3\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x+1 \right )\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x-\frac{4}{3} \right )}{3^{2x}-3}\leq 0.$

Поскольку $\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^x \textgreater 0$ , поделим обе части неравенства на $\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1 \textgreater 0.$

$\displaystyle \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-\frac{4}{3}}{3^{2x}-3}\le 0.$

Применяя метод рационализации, множитель вида $h^f-h^g$ заменяем на $\displaystyle \left(h-1\right)\left(f-g\right).\$

Получим: $\displaystyle \newline \frac{\left ( \frac{3}{2} -1\right )\left ( x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3} \right )}{\left ( 3-1 \right )\left ( 2x-1 \right )} \leq 0;$

$\displaystyle \newline \, \newline \frac{x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3}}{x-\frac{1}{2}}\leq 0.$

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить $\displaystyle \frac{1}{2}$ и ${{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }$ ?

Что больше? Давайте представим $\displaystyle \frac{1}{2}$ как логарифм с основанием $\displaystyle \frac{3}{2}:$

$\displaystyle \frac{1}{2}={{log}_{\frac{3}{2}} {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ }={{log}_{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{3}{2}}\ };$

$\displaystyle \frac{4}{3}\ \vee \sqrt{\frac{3}{2}};$

$\displaystyle \ \frac{16}{9}\ \vee \frac{3}{2};$

$\displaystyle \ 32\ \vee \ 27;$

$\displaystyle 32 \textgreater 27,\$

Значит, $\displaystyle {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ } \textgreater \frac{1}{2}.$

Ответ: $\displaystyle x\in \left(\frac{1}{2};\ {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }\right].$

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Решите неравенство: $\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2.$

$\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2\ \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}3-x \textgreater 0 \\3-x\ne 1 \\\displaystyle \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2} \textgreater 0 \\\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }+2\ge 0 \end{array}\right. .$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${\left(a-b\right)}^2={\left(b-a\right)}^2\ .$

Используем также условия $\ 3-x \textgreater 0;\ \ x+4 \textgreater 0.$

$\left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x+4 \textgreater 0 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)-{log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2+2\ge 0 \end{array}\right. \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x \textgreater -4 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)\ge 0 \end{array}\right. .$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log}_a {\left(b\left(x\right)\right)}^2=2{{log}_a \left|b\left(x\right)\right|\ }\ }.$

Поскольку $3-x \textgreater 0,\ {\ log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2=2{{log}_{3-x} \left|3-x\right|=\ }2{{log}_{3-x} \left(3-x\right)=2.\ }$

Согласно методу замены множителя, выражение ${log}_{3-x}\left(x+4\right)\$ заменим на $\left(3-x-1\right)\left(x+4-1\right).$

Получим систему:

$\left\{ \begin{array}{c}x\ne 2 \\-4 \textless x \textless 3 \\\left(2-x\right)\left(x+3\right)\ge 0 \end{array}\right. .$

Решить ее легко.

Ответ: $x\in \left[-3;2\right).$

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Решите неравенство: $\displaystyle {{lg}^2 \frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)}{5} \textless {lg}^2\frac{x+5}{20}\ }.$

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов: $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right).$

$\displaystyle \left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}+lg\frac{x+5}{20} \right ) \textless 0.$

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

$\left\{ \begin{array}{c}\displaystyle lg\frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)\cdot 20}{5\cdot \left(x+5\right)}\cdot {lg \left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}\right)\ } \textless 0 \\\displaystyle {\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right) \textgreater 0 \\x+5 \textgreater 0 \end{array}\right. .$

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение $(x+2)^2$ должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства $(x+2)^2\ \textgreater \ 0\$ — это все числа, кроме $x=\ -\ 2.$

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}\displaystyle lg\left ( 4\cdot\left ( x+2 \right )^2 \right ) \cdot lg \left ( \frac{\left ( x+2 \right )^2 \cdot \left ( x+5 \right )^2}{100} \right ) \textless 0\\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right..$

По методу рационализации, каждый из множителей вида ${{log}_h f\ }$ заменяем на $\left(h-1\right)\left(f-1\right).$

$\newline \left\{ \begin{array}{c}\displaystyle \left(10-1\right)\cdot \left(4{\left(x+2\right)}^2-1\right)\cdot \left(10-1\right)\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}-1\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+4-1\right)\left(2x+4+1\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)-10\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)+10\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline\textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right)\cdot \left(x^2+7x+20\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right. .$

Просто равносильные преобразования. Выражение $x^2+7x+20$ положительно всегда — так как в уравнении $x^2+7x+20=0$ дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: $\displaystyle x\in \left(-5;-\frac{5}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2};0\right).$

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Это полезно