Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен $60$ градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$ .

Высота правильного треугольника: $h=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} a.$
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: $r=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6} a.$
Радиус описанной окружности в два раза больше: $R=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 3} a.$
Площадь правильного треугольника: $S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 4} a^2.$

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части $C$ — докажите их самостоятельно.

$1$ . Сторона правильного треугольника равна $\sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности $r=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6} a=0,5$ .

$2$ . Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна $6$ .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$ высоты.

Ответ: $2$ .

$3$ . Сторона правильного треугольника равна $\sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6}a$ .

Ответ: $1$ .

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Это полезно