previous arrow
next arrow
Slider

Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

Прямоугольник

1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Рисунок к задаче 1

Всё просто. Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. Найдите, чему равен угол D \mkern -3mu BA и его синус, а затем найдите DB.

Ответ: 12.

А сейчас рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^{\circ} и 66^{\circ}. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы?

Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки C \mkern -2mu M, B \mkern -2mu M и AM тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника. Мы доказали теорему:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Итак, B \mkern -2mu M = C \mkern -2mu M, значит, треугольник B \mkern -2mu M \mkern -1mu C равнобедренный, и угол BC \mkern -2mu M равен 24^{\circ}.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла,
\angle AC \mkern -3mu H = \angle ABC = 24^{\circ}.

Тогда угол MCH (между медианой и высотой треугольника ABC) равен 90^{\circ}-24^{\circ}-24^{\circ}=42^{\circ}.
Ответ: 42.

Как вы думаете, где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? Ведь центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Рисунок к задаче 3

Проведем диагональ AC.

Рисунок к задаче 3
Получим, что AC равна 2R.
Ответ: 10.