Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Ромб и его свойства

Ромб и его свойства

По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны.
Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны $2$ , а острый угол равен $60^{\circ}$ .

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник $A \mkern -2mu D \mkern -2mu B$ . Поскольку $AD = DB$ , а угол $D \mkern -2mu AB$ равен $60^{\circ}$ , треугольник $A \mkern -2mu D \mkern -2mu B$ — равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна $2$ .

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна $3$ , а острый угол равен $60?$

Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

Пусть $a$ — сторона ромба.

Тогда $S = a^2\cdot \sin 60^{\circ}= a\cdot h.$

Отсюда .

2. Диагонали ромба относятся как $3:4$ . Периметр ромба равен $200$ . Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны $6x$ и $8x$ .
Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник $AO \mkern -2mu B$ — прямоугольный.
По теореме Пифагора $AB^2 = AO^2 + O \mkern -2mu B^2$ ,
$AB^2 = 9x^2 + 16x^2$ ,
$AB^2 = 25x^2$ ,
Отсюда $AB=5x$ .
Поскольку периметр равен $200$ ,
$5x \cdot 4=200$ ,
$x=10$ , $AB=50$ , а диагонали ромба равны $60$ и $80$ .

Нам надо найти высоту ромба.
Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, $S = a\cdot h$ . С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников $ABC$ и $A \mkern -2mu D \mkern -2mu C$ , то есть равна $60 \cdot 40 = 2400$ .
Отсюда $h = S : a = 2400 : 50 = 48$ .

Ответ: $48$ .

Ромб и его свойства

Это полезно