Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Самые необходимые тригонометрические формулы

Самые необходимые тригонометрические формулы

Для того чтобы сдать ЕГЭ по математике, вам понадобится около 20 формул тригонометрии. Это не много. Но их надо знать наизусть!

Вот таблица, в которой собраны основные тригонометрические формулы. Здесь все самое необходимое. Их легко выучить и применять.

Эти формулы применяются и в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, и в заданиях 2 части.

Эта полезная табличка – только одна из многих страниц Справочника Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ. Скачай Справочник бесплатно здесь.

Кроме того, надо знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также значения этих функций для основных углов.

Первые 3 блока формул из нашей таблицы часто встречаются в заданиях 1 части ЕГЭ и в задаче из второй части, где надо решить тригонометрическое уравнение.

В первую очередь это основное тригонометрическое тождество:

sin ${}^2 \alpha +$ cos ${}^2 \alpha =1.$

Это формулы, которые показывают, как выразить тангенс через косинус и котангенс через синус угла.

tg ${}^2\alpha +1=\displaystyle \frac{1}{{{\cos}^2 \alpha \ }};$

1 + ctg ${}^2\alpha =\displaystyle \frac{1}{{{\sin}^2 \alpha \ }}.$

Формулы синуса и косинуса двойного угла, формулы синуса суммы, косинуса разности, - все это надо знать, чтобы без ошибок решать тригонометрические уравнения.

А вот формулы суммы синусов и косинусов, а также преобразование произведения в сумму могут пригодиться при решении задач с параметрами.

Где же могут встретиться формулы из двух последних блоков, внизу таблицы?

Формулы понижения степени могут присутствовать и в тригонометрических уравнениях, и в «параметрах». И даже в задачах с физическим содержанием из 1 части ЕГЭ, если там вдруг попадется тригонометрия.

А универсальная тригонометрическая замена, когда мы выражаем синус и косинус угла альфа через тангенс половинного угла? А формулы синуса и косинуса тройных углов? Где же они применяются? Оказывается, они помогают решать задачи по геометрии из 2 части ЕГЭ. Так что их тоже стоит знать, если рассчитываете сдать на высокий балл.

Обратите внимание, что в этой таблице нет формул приведения. О них мы рассказываем в отдельной статье нашего сайта.

Как же выучить тригонометрические формулы?

1. Учите формулы сразу. Не рассказывайте себе сказки о том, что в последнюю ночь перед ЕГЭ все выучите. Каждый день – один блок, то есть три-четыре формулы из нашей таблицы.

2. Тренируйтесь. Выучить иностранный язык проще всего тому, кто вынужден постоянно на нем говорить. Так и здесь. Для тренировки можно из классического задачника Сканави выбрать 20-50 заданий на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.

3. Универсальный способ: ежедневно, садясь за уроки, берите чистый листок и выписывайте наизусть все тригонометрические формулы, какие помните. Когда всё готово — сверяете. И к экзамену вы будете помнить всё.

4. Еще один отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!

5. И конечно, решаем задания ЕГЭ на применение этих формул. Начнем с задач 1 части, преобразование тригонометрических выражений.

Задача 1.

Найдите tg $\alpha$ , если cos $\alpha =\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}$ и $\alpha \in \left(\displaystyle \frac{3\pi }{2};2\pi \right).$

Решение:

Воспользуемся формулой

tg ${}^2x+1=\displaystyle \frac{1}{{\cos}^2x}\ \ \ \Rightarrow$ tg x $=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{{\cos}^2x}-1}.$

Какой знак будет у тангенса, плюс или минус?

В условии дано, что $\alpha \in \left(\displaystyle \frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ , то есть это угол из четвертой четверти, значит tgx $\textless 0.$

tgx $=-\sqrt{\displaystyle \frac{100}{10}-1}=-3.$

Ответ: -3.

Задача 2.

Найдите $\displaystyle \frac{10{\sin 6\alpha \ }}{3{\cos 3\alpha \ }},$ если sin $3\alpha =0,6.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2 $\alpha$ = 2sin $\alpha$ cos $\alpha :$

$\displaystyle \frac{10{\sin 6\alpha \ }}{3{\sin 3\alpha \ }}=\displaystyle \frac{10\cdot 2{\sin 3\alpha }{\cos 3\alpha \ }}{3{\sin 3\alpha \ }}=\displaystyle \frac{20\cdot {\cos 3\alpha \ }}{3}=\displaystyle \frac{20\cdot 0,6}{3}=4.$

Ответ: 4.

Задача 3.

Найдите 24cos $2\alpha ,$ если sin $\alpha =-0,2.$

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2 $\alpha$ = 1 - 2sin ${}^2$ $\alpha :$

24cos2 $\alpha$ = 24(1 - 2sin ${}^2 \alpha )=24\left(1-2{\left(-0,2\right)}^2\right)=$

$=24\cdot \left(1-0,08\right)=24\cdot 0,92=22,08.$

Ответ: 22,08.

Задача 4.

Найдите $\displaystyle \frac{3{\cos \alpha \ }-4{\sin \alpha \ }}{2{\sin \alpha \ }-5{\cos \alpha \ }},$ если tg $\alpha$ $=3.$

Решение:

Вынесем косинус альфа за скобки в числителе и знаменателе:

$\displaystyle \frac{3{\cos \alpha \ }-4{\sin \alpha \ }}{2{\sin \alpha \ }-5{\cos \alpha \ }}=\displaystyle \frac{{\cos \alpha \ }\left(3-4tg\alpha \right)}{{\cos \alpha \ }\left(2tg\alpha -5\right)}=\displaystyle \frac{3-4\cdot 3}{2\cdot 3-5}=\displaystyle \frac{-9}{1}=-9.$

Ответ: -9.

Задача 5.

Найдите значение выражения: $\displaystyle \frac{5{\sin 98{}^\circ \ }}{{\sin 49{}^\circ \ }\cdot {\sin 41{}^\circ \ }}.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

sin2 $\alpha$ = 2sin $\alpha$ cos $\alpha ;$ тогда sin $\alpha$ cos $\alpha$ = $\displaystyle \frac{1}{2}{\sin 2\alpha } .$

$\displaystyle \frac{5{\sin 98{}^\circ \ }}{{\sin 49{}^\circ \cdot {\sin 41{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{10{\sin 49{}^\circ \ }\cdot {\cos 49{}^\circ \ }}{{\sin 49{}^\circ \cdot {\sin 41{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{10{\sin 41{}^\circ \ }}{{\sin 41{}^\circ \ }}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6.

Найдите значение выражения: $\sqrt{3}$ cos ${}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}$ sin ${}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12} .$

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos $2$ $\alpha$ = cos ${}^2$ $\alpha \$ - sin ${}^2$ $\alpha.$

$\sqrt{3}{{\cos}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12}\ }-\sqrt{3}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12}=\sqrt{3}\left({{\cos}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12}\ }-{{\sin}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12}\ }\right)\ }=$

$=\sqrt{3}\cdot$ cos $\displaystyle \frac{5\pi }{6}=\sqrt{3}\cdot \left(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1,5.$

Ответ: -1,5.

Задача 7.

Найдите значение выражения: -50tg $9{}^\circ \cdot$ tg $81{}^\circ +31.$

Решение:

Используя формулы приведения, получим: tg $81{}^\circ$ = tg $\left(90{}^\circ -9{}^\circ \right)$ = ctg $9{}^\circ.$

Пользуемся также тем, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, $tg\alpha \cdot ctg\alpha =1.$

Получим:

-50tg $9{}^\circ \cdot$ ctg $9{}^\circ +31=-50+31 = - 19.$

Ответ: -19.

Задача 8.

Найдите значение выражения: $\sqrt{72}-\sqrt{288}$ sin ${}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8}.$

Решение:

$\sqrt{72}-\sqrt{288}$ sin ${}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8}=6\sqrt{2}-12\sqrt{2}$ sin ${}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8}=6\sqrt{2}\cdot \left(1-2{}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8} \right)=$

$=6\sqrt{2}$ cos $(2\cdot \displaystyle \frac{21\pi }{8})=6\sqrt{2}$ cos $\displaystyle \frac{21\pi }{4}=6\sqrt{2}$ cos $\displaystyle \frac{5\pi }{4}=6\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=6.$

Мы вынесли за скобки множитель $6\sqrt{2}$ и применили формулу косинуса двойного угла, выразив его через квадрат синуса угла.

Ответ: 6.

Задача 9.

Найдите значение выражения: 5sin $\displaystyle \frac{11\pi }{12}\cdot$ cos $\displaystyle \frac{11\pi }{12}.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin $2$ $\alpha$ = 2sin $\alpha$ cos $\alpha .$ Также применим одну из формул приведения: sin $\left(2\pi -\alpha \right)$ = -sin $\alpha .$

5sin $\displaystyle \frac{11\pi }{12}$ cos $\displaystyle \frac{11\pi }{12}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot$ sin $\displaystyle \frac{11\pi }{6}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot$ sin $\left(2\pi -\displaystyle \frac{\pi }{6}\right)=-\displaystyle \frac{5}{2}\cdot$ sin $\displaystyle \frac{\pi }{6}=-\displaystyle \frac{5}{2}\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=-1,25.$

Ответ: -1,25.

Задача 10.

Найдите значение выражения: $2\sqrt{3}-4\sqrt{3}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{7\pi }{12}}.$

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos2 $\alpha$ = 1 - 2 ${\sin}^2 \alpha.$

$2\sqrt{3}-4\sqrt{3}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{7\pi }{12}=\ }2\sqrt{3}(1-2{{\sin}^2 \displaystyle \frac{7\pi }{12})=\ }$

$=2\sqrt{3}\cdot$ cos $\displaystyle \frac{7\pi }{6}=2\sqrt{3}\cdot$ cos $\left(\pi +\displaystyle \frac{\pi }{6}\right)=-2\sqrt{3}\cdot$ cos $\displaystyle \frac{\pi }{6}=-2\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=-3.$

Ответ: -3.

Задача 11.

Найдите значение выражения: $\sqrt{108}{{\cos}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}\ }-\sqrt{27}.$

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos2 $\alpha$ = ${\cos}^2 \alpha -\sin{}^2 \alpha = 2\cos{}^2 \alpha -1.$

$\sqrt{108}$ cos ${}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}-\sqrt{27}=6\sqrt{3}$ cos ${}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(2{{\cos}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}\ }-1\right)=3\sqrt{3}\cdot$ cos $\displaystyle \frac{\pi }{6}=$

$=3\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\ =4,5.$

Ответ: 4,5.

Задача 12.

Найдите значение выражения: $-\displaystyle \frac{6{\sin 374{}^\circ \ }}{{\sin 14{}^\circ \ }}.$

$\displaystyle \frac{-6{\sin 374{}^\circ \ }}{{\sin 14{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{-6{\sin 14{}^\circ \ }}{{\sin 14{}^\circ \ }}=-6.$

Мы воспользовались периодичностью функции синус: sin $\left(360^\circ +\alpha \right)=$ sin $\alpha .$ В нашей задаче 374 = 360 + 14.

Ответ: - 6.

Задача 13.

Найдите значение выражения: $7\sqrt{2}{\sin \displaystyle \frac{15\pi }{8}\cdot {\cos \displaystyle \frac{15\pi }{8}\ }\ }.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2 $\alpha$ = 2sin $\alpha$ cos $\alpha.$

$7\sqrt{2}$ sin $\displaystyle \frac{15\pi }{8}\cdot$ cos $\displaystyle \frac{15\pi }{8}=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot$ sin $\displaystyle \frac{15\pi }{4}=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot$ sin $\left(4\pi -\displaystyle \frac{\pi }{4}\right)=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot$ sin $\displaystyle \frac{\pi }{4}=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=3,5.$

Ответ: 3,5.

Заметим, что если в задаче нам встретилось произведение синуса альфа на косинус альфа, то, скорее всего, нужно будет применять формулу синуса двойного угла.

Задача 14.

Найдите tg $\alpha ,$ если cos $\alpha$ $=-\displaystyle \frac{5\sqrt{41}}{41}$ и $\alpha \in \left(\pi ;\displaystyle \frac{3\pi }{2}\right).$

Решение:

Вспомним основное тригонометрическое тождество: ${{\cos}^2 \alpha \ }+\ {{\sin}^2 \alpha \ }=1.$ Выразим из этой формулы синус альфа:

sin $\alpha$ $=\pm \sqrt{1-{{\cos}^2 \alpha }}.$

Какой же знак выбрать, плюс или минус?

Угол альфа в третьей четверти, значит, его синус отрицателен.

sin $\alpha$ $=-\sqrt{1-{\left(-\displaystyle \frac{5\sqrt{41}}{41}\right)}^2}=-\sqrt{1-\displaystyle \frac{25}{41}}=-\sqrt{\displaystyle \frac{16}{41}}=-\displaystyle \frac{4}{\sqrt{41}}.$

tg $\alpha =\displaystyle \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha \ }}=\left(-\displaystyle \frac{5\sqrt{41}}{41}\right):\left(-\displaystyle \frac{4}{\sqrt{41}}\right)=\displaystyle \frac{5}{4}=1,25.$

Ответ: 1,25.

Задача 15.

Найдите sin $\alpha ,$ если cos $\alpha$ $=-\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}$ и $\alpha \in \left(\displaystyle \frac{\pi }{2};\pi \right).$

Решение:

Как и в предыдущей задаче, выразим синус альфа из основного тригонометрического тождества:

sin $\alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos}^2 \alpha }}.$

Дан угол альфа, принадлежащий второй четверти, значит, его синус положителен.

sin $\alpha =\sqrt{1-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}\right)}^2}=\sqrt{\displaystyle \frac{81}{100}}=0,9.$

Ответ: 0,9.

Задача 16.

Найдите tg $\alpha ,$ если sin $\alpha$ $=-\displaystyle \frac{4\sqrt{41}}{41}$ и $\alpha \in \left(\pi ;\displaystyle \frac{3\pi }{2}\right).$

Решение:

Аналогично предыдущим задачам, выразим косинус альфа из основного тригонометрического тождества:

cos $\alpha$ $=\pm \sqrt{1-{{\sin}^2 \alpha \ }}.$

Угол альфа в третьей четверти, значит, его косинус отрицателен.

cos $\alpha$ $=-\sqrt{1-\displaystyle \frac{16}{41}}=-\sqrt{\displaystyle \frac{25}{41}}=-\displaystyle \frac{5}{\sqrt{41}}$ , тогда tg $\alpha =\displaystyle \frac{{\sin \alpha \ }}{{\cos \alpha \ }}=-\displaystyle \frac{4}{\sqrt{41}}\div \left(-\displaystyle \frac{5}{\sqrt{41}}\right)=\displaystyle \frac{4}{5}=0,8.$

Ответ: 0,8.

Задача 17.

Найдите значение выражения: — 42tg $34{}^\circ \cdot$ tg $56{}^\circ +6.$

Решение:

-42tg $34{}^\circ \cdot$ tg ${56}^\circ =$ -42tg $34{}^\circ \cdot$ tg $\left(90{}^\circ -34{}^\circ \right)=$ -42tg $34{}^\circ \cdot$ ctg $34{}^\circ =-42.$

Мы применили формулу приведения, а также то, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, и их произведение равно единице.

Задача 18.

Найдите значение выражения: $\displaystyle \frac{24}{{{\sin}^2 127{}^\circ }}+4+$ sin ${}^2 217{}^\circ .$

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

$\displaystyle \frac{24}{{{\sin}^2 127+4+\sin{}^2 217}}=\displaystyle \frac{24}{{{\sin}^2 \left(90{}^\circ +37{}^\circ \right)+4+{{\sin}^2 \left(180{}^\circ +37{}^\circ \right)\ }\ }}=$

$=\displaystyle \frac{24}{{{\cos}^2 37{}^\circ +4+{{\sin}^2 37{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{24}{5}=4,8.$

Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.

Ответ: 4,8.

Задача 19.

Найдите значение выражения: $\displaystyle \frac{2{\sin 136{}^\circ \ }}{{\sin 68{}^\circ \ }\cdot {\sin 22{}^\circ \ }}.$

Решение:

Так как $68{}^\circ +22{}^\circ =90{}^\circ ,$ то заменим ${\sin 68{}^\circ }$ на $\ {\cos 22 }^\circ$ по формуле приведения и воспользуемся формулой синуса двойного угла:

sin2 $\alpha$ = 2sin $\alpha$ cos $\alpha.$

$\displaystyle \frac{2{\sin 136{}^\circ \ }}{{\sin 68{}^\circ \ }{\sin 22{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{2{\sin 136{}^\circ \ }}{{\cos 22{}^\circ \ }{\sin 22{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{4{\sin \left(180{}^\circ -44{}^\circ \right)\ }}{{\sin 44{}^\circ \ }}=$

$=\displaystyle \frac{4{\sin 44{}^\circ \ }}{{\sin 44{}^\circ \ }}=4.$

Ответ: 4.

Задача 20.

Найдите значение выражения: $\displaystyle \frac{21\left({{\sin}^2 66{}^\circ \ }-{{\cos}^2 66{}^\circ \ }\right)}{{\cos 132{}^\circ \ }}.$

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

${\cos 2\alpha ={{\cos}^2 \alpha \ }-{{\sin}^2 \alpha \ }\ }.$

$\displaystyle \frac{21\left({{\sin}^2 66{}^\circ \ }-{{\cos}^2 66{}^\circ \ }\right)}{{\cos 132{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{-21{\cos 132{}^\circ \ }}{{\cos 132{}^\circ \ }}=-21.$

Ответ: -21.

Задача 21.

Найдите значение выражения: $\sqrt{2}{\sin \displaystyle \frac{7\pi }{8}\cdot {\cos \displaystyle \frac{7\pi }{8}} }.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

${\sin 2\alpha =2{\sin \alpha \ }{\cos \alpha \ }\ }.$

$\sqrt{2}{\sin \displaystyle \frac{7\pi }{8}\ }\cdot {\cos \displaystyle \frac{7\pi }{8}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}{\sin \displaystyle \frac{7\pi }{4}\ }\ }=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}{\sin \left(2\pi -\displaystyle \frac{\pi }{4}\right)\ }=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\sin \displaystyle \frac{\pi }{4}=$

$= -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=-0,25.$

Ответ: -0,25.

Задача 22.

Найдите значение выражения: $3\sqrt{2}{{\cos}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }-3\sqrt{2}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }.$

Решение:

$3\sqrt{2}{\cos}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ -3\sqrt{2}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }=3\sqrt{2}\left({{\cos}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }-{{\sin}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }\right)=3\sqrt{2}{\cos \displaystyle \frac{9\pi }{4}\ }=$

$=3\sqrt{2}\cos \left(2\pi +\displaystyle \frac{\pi }{4}\right)=3\sqrt{2}\cos \displaystyle \frac{\pi }{4}=3\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=3.$

И здесь тоже была формула косинуса двойного угла, но только в другой форме.

Ответ: 3.

Задача 23.

Найдите значение выражения: $26\sqrt{2}{\cos \displaystyle \frac{\pi }{4}\ }{\cos \displaystyle \frac{4\pi }{3}\ }.$

Решение:

$26\sqrt{2}{\cos \displaystyle \frac{\pi }{4}\ }{\cos \displaystyle \frac{4\pi }{4}\ }=26\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\displaystyle \frac{1}{2}\right)=-13.$

А здесь мы просто вычислили косинус и синус табличного угла $\displaystyle \frac{\pi }{4}.$

Ответ: -13.

Задача 24.

Найдите значение выражения: $18\sqrt{2}tg\displaystyle \frac{\pi }{4}{\sin \displaystyle \frac{\pi }{4}\ }.\$

Решение:

$18\sqrt{2}\cdot tg\displaystyle \frac{\pi }{4}{\cdot \sin \displaystyle \frac{\pi }{4}=\ }18\sqrt{2}\cdot 1\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=18.$

Это задача на вычисление тригонометрических функций для табличного угла $\displaystyle \frac{\pi }{4}.\$ Если этот угол выразить в градусах, то он равен 45 градусов.

Ответ: 18.

Задача 25.

Найдите значение выражения: $\displaystyle \frac{2{\cos \left(2\pi -\beta \right)\ }-3{\sin \left(-\displaystyle \frac{\pi }{2}+\beta \right)\ }}{2{\cos \left(\beta -3\pi \right)\ }}.$

Решение:

Используя формулы приведения, получим:

$\displaystyle \frac{2{\cos \left(2\pi -\beta \right)\ }-3{\sin \left(-\displaystyle \frac{\pi }{2}+\beta \right)\ }}{2{\cos \left(\beta -3\pi \right)\ }}=\displaystyle \frac{2{\cos \beta \ }+3{\cos \beta \ }}{-2{\cos \beta \ }}=$

$=-\displaystyle \frac{5{\cos \beta \ }}{2{\cos \beta \ }}=-2,5.$

Лайфхак: если вам сложно запомнить формулы приведения, вы можете вместо них использовать формулы косинуса разности и синуса суммы.

Ответ: -2,5.

Посмотрим, как формулы тригонометрии применяются при решении уравнений.

Задача 26.

Решите уравнение: ${{\sin}^2 \left(\displaystyle \frac{\pi }{4}-x\right)\ }={{\sin}^2 \left(\displaystyle \frac{\pi }{4}+x\right) }.$

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени: sin ${}^2 x=\displaystyle \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}.$

$\displaystyle \frac{1-{\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}-2x\right)\ }}{2}=\displaystyle \frac{1-{\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2x\right)\ }}{2}\Leftrightarrow {\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}-2x\right)\ }={\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2x\right)\Leftrightarrow \ }$

$\Leftrightarrow {\cos 2x=-{\cos 2x\Leftrightarrow 2\ }\ }{\cos 2x=0\ }\Leftrightarrow 2x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{\pi }{4}+\displaystyle \frac{\pi k}{2};\ \ k\in Z.$

Ответ: $x=\displaystyle \frac{\pi }{4}+\displaystyle \frac{\pi k}{2};\ \ k\in Z.$

Задача 27.

Решите уравнение: ${{\cos}^2 3x\ }+{{\cos}^2 4x\ }+{{\cos}^2 5x\ }=\displaystyle \frac{3}{2}.$

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени: ${{\cos}^2 x\ }=\displaystyle \frac{1+{\cos 2x\ }}{2}.$

${\cos}^2 3x+{\cos}^2 4x+{\cos}^2 5x=\displaystyle \frac{3}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+{\cos 6x\ }}{2}+$

$+\displaystyle \frac{1+{\cos 8x\ }}{2}+\displaystyle \frac{1+{\cos 10x\ }}{2}=\displaystyle \frac{3}{2}.$

Умножим обе части на два:

$1 + \cos6x + 1 + \cos8x + 1 + \cos10x = 3$ $\Leftrightarrow$ $\cos6x + \cos8x + \cos 10x = 0.$

Воспользуемся формулой суммы косинусов: cos $\alpha$ + cos $\beta$ = 2cos $\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}$ cos $\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2};$

cos6x + cos10x = 2cos8x cos2x.

Уравнение примет вид:

2cos8x cos2x + cos8x =0.

Вынесем общий множитель за скобки. Теперь произведение двух множителей равно нулю, а с этим мы умеем работать.

${\cos 8x\left(2{\cos 2x+1\ }\right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}{\cos 8x=0\ } \\{\cos 2x=-\displaystyle \frac{1}{2}\ } \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k \\2x=\pm \displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k;k\in Z \end{array}\right.\right.\ }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=\displaystyle \frac{\pi }{16}+\displaystyle \frac{\pi k}{8} \\x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi k;k\in Z \end{array}\right. .$

Ответ: $\left[ \begin{array}{c}x=\displaystyle \frac{\pi }{16}+\displaystyle \frac{\pi k}{8} \\x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi k;k\in Z \end{array}\right. .$

Все о решении тригонометрических уравнений здесь.

Самые необходимые тригонометрические формулы

Как же выучить тригонометрические формулы?

Это полезно