Самые необходимые тригонометрические формулы
Для того чтобы сдать ЕГЭ по математике, вам понадобится около 20 формул тригонометрии. Это не много. Но их надо знать наизусть!
Вот таблица, в которой собраны основные тригонометрические формулы. Здесь все самое необходимое. Их легко выучить и применять.

Эти формулы применяются и в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, и в заданиях 2 части.
Эта полезная табличка – только одна из многих страниц Справочника Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ. Скачай Справочник бесплатно здесь.
Кроме того, надо знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также значения этих функций для основных углов.
Первые 3 блока формул из нашей таблицы часто встречаются в заданиях 1 части ЕГЭ и в задаче из второй части, где надо решить тригонометрическое уравнение.
В первую очередь это основное тригонометрическое тождество:
sin
cos
Это формулы, которые показывают, как выразить тангенс через косинус и котангенс через синус угла.
tg 
1 + ctg
Формулы синуса и косинуса двойного угла, формулы синуса суммы, косинуса разности, – все это надо знать, чтобы без ошибок решать тригонометрические уравнения.
А вот формулы суммы синусов и косинусов, а также преобразование произведения в сумму могут пригодиться при решении задач с параметрами.
Где же могут встретиться формулы из двух последних блоков, внизу таблицы?
Формулы понижения степени могут присутствовать и в тригонометрических уравнениях, и в «параметрах». И даже в задачах с физическим содержанием из 1 части ЕГЭ, если там вдруг попадется тригонометрия.
А универсальная тригонометрическая замена, когда мы выражаем синус и косинус угла альфа через тангенс половинного угла? А формулы синуса и косинуса тройных углов? Где же они применяются? Оказывается, они помогают решать задачи по геометрии из 2 части ЕГЭ. Так что их тоже стоит знать, если хотите сдать на высокий балл.
Обратите внимание, что в этой таблице нет формул приведения. О них мы рассказываем в отдельной статье нашего сайта.
Как же выучить тригонометрические формулы?
1. Учите формулы сразу. Не рассказывайте себе сказки о том, что в последнюю ночь перед ЕГЭ все выучите. Каждый день – один блок, то есть три-четыре формулы из нашей таблицы.
2. Тренируйтесь. Выучить иностранный язык проще всего тому, кто вынужден постоянно на нем говорить. Так и здесь. Для тренировки можно из классического задачника Сканави выбрать 20-50 заданий на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.
3. Универсальный способ: ежедневно, садясь за уроки, берите чистый листок и выписывайте наизусть все тригонометрические формулы, какие помните. Когда всё готово — сверяете. И к экзамену вы будете помнить всё.
4. Еще один отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!
5. И конечно, решаем задания ЕГЭ на применение этих формул. Начнем с задач 1 части, преобразование тригонометрических выражений.
Задача 1.
Найдите tg
, если cos
и 
Решение:
Воспользуемся формулой:
tg
tg x 
Какой знак будет у тангенса, «плюс» или «минус»?
В условии дано, что
, то есть это угол из четвертой четверти, значит tgx
tgx 
Ответ: -3.
Задача 2.
Найдите
если sin 
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2
= 2sin
cos

Ответ: 4.
Задача 3.
Найдите 24cos
если sin 
Решение:
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2
= 1 - 2sin

24cos2
= 24(1 - 2sin

Ответ: 22,08.
Задача 4.
Найдите
если tg

Решение:
Вынесем косинус альфа за скобки в числителе и знаменателе:

Ответ: -9.
Задача 5.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin2
= 2sin
cos
тогда sin
cos
= 

Ответ: 10.
Задача 6.
Найдите значение выражения:
cos
sin
Решение:
Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos
= cos
- sin


cos 
Ответ: -1,5.
Задача 7.
Найдите значение выражения:
tg 
Решение:
Используя формулы приведения, получим: tg
= tg
= ctg
Пользуемся также тем, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины,
Получим:
-50tg
ctg 
Ответ: -19.
Задача 8.
Найдите значение выражения:
sin 
Решение:
sin
sin
cos
cos
cos
Мы вынесли за скобки множитель
и применили формулу косинуса двойного угла, выразив его через квадрат синуса угла.
Ответ: 6.
Задача 9.
Найдите значение выражения: 5sin
cos 
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin
= 2sin
cos
Также применим одну из формул приведения: sin
= -sin 
5sin
cos
sin
sin
sin 
Ответ: -1,25.
Задача 10.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos2
= 1 - 2

cos
cos
cos 
Ответ: -3.
Задача 11.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos2
= 
cos
cos
cos 

Ответ: 4,5.
Задача 12.
Найдите значение выражения: 

Мы воспользовались периодичностью функции синус: sin
sin
В нашей задаче 374 = 360 + 14.
Ответ: - 6.
Задача 13.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2
= 2sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin 
Ответ: -3,5.
Заметим, что если в задаче нам встретилось произведение синуса альфа на косинус альфа, то, скорее всего, нужно будет применять формулу синуса двойного угла.
Задача 14.
Найдите tg
если cos
и 
Решение:
Вспомним основное тригонометрическое тождество:
Выразим из этой формулы синус альфа:
sin

Какой же знак выбрать, «плюс» или «минус»?
Угол альфа в третьей четверти, значит, его синус отрицателен.
sin

tg
Ответ: 1,25.
Задача 15.
Найдите sin
если cos
и 
Решение:
Как и в предыдущей задаче, выразим синус альфа из основного тригонометрического тождества:
sin
Дан угол альфа, принадлежащий второй четверти, значит, его синус положителен.
sin
Ответ: 0,9.
Задача 16.
Найдите tg
если sin
и 
Решение:
Аналогично предыдущим задачам, выразим косинус альфа из основного тригонометрического тождества:
cos

Угол альфа в третьей четверти, значит, его косинус отрицателен.
cos
, тогда tg
Ответ: 0,8.
Задача 17.
Найдите значение выражения: — 42tg
tg 
Решение:
-42tg
tg
-42tg
tg
-42tg
ctg 
Мы применили формулу приведения, а также то, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, и их произведение равно единице.
Ответ: -42.
Задача 18.
Найдите значение выражения:
sin
Решение:
Воспользуемся формулами приведения:


Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.
Ответ: 4,8.
Задача 19.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Так как
то заменим
на
по формуле приведения и воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin2
= 2sin
cos


Ответ: 4.
Задача 20.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:


Ответ: -21.
Задача 21.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:



Ответ: -0,25.
Задача 22.
Найдите значение выражения: 
Решение:


И здесь тоже была формула косинуса двойного угла, но только в другой форме.
Ответ: 3.
Задача 23.
Найдите значение выражения: 
Решение:

А здесь мы просто вычислили косинус и синус табличного угла 
Ответ: -13.
Задача 24.
Найдите значение выражения: 
Решение:

Это задача на вычисление тригонометрических функций для табличного угла
Если этот угол выразить в градусах, то он равен 45 градусов.
Ответ: 18.
Задача 25.
Найдите значение выражения: 
Решение:
Используя формулы приведения, получим:


Лайфхак: если вам сложно запомнить формулы приведения, вы можете вместо них использовать формулы косинуса разности и синуса суммы.
Ответ: -2,5.
Посмотрим, как формулы тригонометрии применяются при решении уравнений.
Задача 26.
Решите уравнение: 
Решение:
Воспользуемся формулой понижения степени: sin


Ответ: 
Задача 27.
Решите уравнение: 
Решение:
Воспользуемся формулой понижения степени: 


Умножим обе части на два:



Воспользуемся формулой суммы косинусов: cos
+ cos
= 2cos
cos
cos6x + cos10x = 2cos8x cos2x.
Уравнение примет вид:
2cos8x cos2x + cos8x =0.
Вынесем общий множитель за скобки. Теперь произведение двух множителей равно нулю, а с этим мы умеем работать.

Ответ: 
Все о решении тригонометрических уравнений здесь.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Самые необходимые тригонометрические формулы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023