Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

1. 1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит $360$ градусов, или $2 \pi$ радиан.
  2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси $X$ , а значение синуса — на оси $Y$ .
  3. И синус, и косинус принимают значения от $-1$ до $1$ .
  4. Значение тангенса угла $\alpha$ тоже легко найти — поделив $\sin \alpha$ на $\cos \alpha$ . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен $2 \pi$ .

А теперь подробно о тригонометрическом круге

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями $OX$ и $OY$ , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси $OX$ против часовой стрелки.

Полный круг — $360$ градусов.
Точка с координатами $\left( 1;0 \right)$ соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами $\left( -1;0 \right)$ отвечает углу в $180^{\circ}$ , точка с координатами $\left( 0;1 \right)$ — углу в $90^{\circ}$ . Каждому углу от нуля до $360$ градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси $OX$ ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу $\alpha$ .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси $OY$ ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу $\alpha$ .

Например:

$cos\mkern 2mu 60^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2};$

$cos\mkern 2mu 0^{\circ}=1;$
$sin\mkern 2mu 45^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2};$
$sin\mkern 2mu 240^{\circ}=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}.$

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса $\left( x \right)$ , синус — ордината $\left( y \right)$ . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от $-1$ до $1$ :

$-1\leqslant cos\mkern 2mu\alpha \leqslant 1,$
$-1\leqslant sin\mkern 2mu\alpha \leqslant 1.$

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

$cos^2\mkern 2mu\alpha+sin^2\mkern 2mu\alpha=1.$

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу $\alpha$ , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по $x$ (это косинус угла $\alpha$ ) и по $y$ (это синус угла $\alpha$ ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: $360$ градусов, то есть полный круг, соответствует $2 \pi$ радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол $-30^{\circ}$ — это угол величиной в $30^{\circ}$ , который отложили от положительного направления оси $x$ по часовой стрелке.

Легко заметить, что

$cos\mkern 2mu\left( -\alpha \right)=cos\mkern 2mu\alpha$ ,
$sin\mkern 2mu\left( -\alpha \right)=-sin\mkern 2mu\alpha$ .

Углы могут быть и больше $360$ градусов. Например, угол $732^{\circ}$ — это два полных оборота по часовой стрелке и еще $12^{\circ}$ . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по $x$ и по $y$ , значения синуса и косинуса повторяются через $360^{\circ}$ . То есть:

$cos\mkern 2mu\left( \alpha +360^{\circ}\cdot n \right)=cos\mkern 2mu\alpha$ ,
$sin\mkern 2mu\left( \alpha +360^{\circ}\cdot n \right)=sin\mkern 2mu\alpha$ ,

где $n$ — целое число.

То же самое можно записать в радианах:

$cos\mkern 2mu\left( \alpha +2\pi n \right)=cos\mkern 2mu\alpha$ ,
$sin\mkern 2mu\left( \alpha +2\pi n \right)=sin\mkern 2mu\alpha$ .

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.

По определению:

$tg\mkern 2mu\alpha=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle sin\mkern 2mu\alpha}{\displaystyle cos\mkern 2mu\alpha},$

$ctg\mkern 2mu\alpha=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle cos\mkern 2mu\alpha}{\displaystyle sin\mkern 2mu\alpha}.$

В результате получим следующую таблицу.

$\varphi$	0	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle 3}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3 \pi}{\displaystyle 4}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5 \pi}{\displaystyle 6}$	$\pi$
$tg\mkern 2mu\varphi$	0	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	не существует	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	0
$ctg\mkern 2mu\varphi$	не существует	$\sqrt{3}$	$1$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	0	$-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	не существует

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

А теперь подробно о тригонометрическом круге

Это полезно