Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Углы при параллельных прямых и секущей
Пусть прямая
пересекает параллельные прямые
и
. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть


Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.
Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна
.
Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.
Накрест лежащие углы равны.
,
,
,
.
Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна
, то есть
,
.
Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
,
.
Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
,
,
,
.
Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.
В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».
Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.
Теорема 1.
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.
Доказательство:

Дано два острых угла:
и
Известно, что их стороны параллельны:
и 
Докажем, что 
Пусть 
Тогда
как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.
как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.
Отсюда следует, что
что и требовалось доказать.
Аналогично и для тупых углов.
Теорема 2.
Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют
если один из них острый, а другой тупой.
Доказательство:

Дано:
– острый, а
– тупой. Известно, что их стороны параллельны:
и 
Докажем, что сумма углов
и
равна 
Пусть
Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.
Получили два острых угла,
и
с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е. 
как смежные. Значит, 
Теорема доказана.
Теорема 3.
Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых
и
секущей AB накрест лежащие углы равны: 
Докажем, что
Если углы 1 и 2 прямые, то прямые
и
перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой 
На прямой
от точки В отложим отрезок
равный отрезку AH
по двум сторонам и углу между ними, поэтому
и
Из равенства
следует, что точка
лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и
лежат на одной прямой, а из равенства
следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые
и
перпендикулярны к прямой
поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема 4.
Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:
Пусть при пересечении прямых
и
секущей
соответственные углы равны, например 
Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то
Из этих двух равенств следует, что
. Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые
и
параллельны. Теорема доказана.
Теорема 5.
Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:
Пусть при пересечении прямых
и
секущей
сумма односторонних углов равна
например 
Так как углы 3 и 4 – смежные, то
Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые
и
параллельны. Теорема доказана
И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.
Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей
Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.
Решение:
Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы
и
равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.
Мы доказали важное утверждение.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
AB=BK=5.


Ответ: 48.
Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.
Найдите AB, если AF=24, BF=10.
Решение:
Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна 
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна
Мы получили, что

AF - биссектриса угла А,
BF - биссектриса угла В, поэтому
тогда

Из треугольника AFB получим, что 
Мы доказали теорему:
Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
Значит, треугольник AFB – прямоугольный.
По теореме Пифагора, 
Ответ: 26.
Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.
Решение:
Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС, 
Значит,
как односторонние углы при параллельных прямых
и
и секущей АВ.
по двум углам.
Отсюда
;

Ответ: 21.
Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108
Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение:
ABCD – трапеция,
– основания, AB – секущая.
Значит,
и
– внутренние односторонне углы.
Отсюда 
Ответ: 
Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
Решение:
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна 
Это значит, что 
AК - биссектриса угла А,
BК - биссектриса угла В, поэтому
тогда

Из треугольника AKB получим, что 
Мы доказали теорему:
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
Значит, треугольник AKB – прямоугольный.
Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки
на прямую АВ, т.е. 
по гипотенузе и острому углу 
Аналогично,
по гипотенузе и острому углу 
Получили: 
Тогда
; 
Ответ: 56.
Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Решение:
и
– это внутренние односторонние углы,

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е. 
Рассмотрим углы при параллельных прямых
и секущей d.
и
– это односторонние углы, а значит, они равны: 
Ответ: 
Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите
если
Ответ дайте в градусах.
Решение:
как односторонние углы.
Сумма углов треугольника равна 
Для треугольника на рисунке:

Ответ: 86.
Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30
и 45
Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:

и
– это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей АВ, их сумма равна 
Тогда 
Это и есть наибольший угол параллелограмма.
Ответ: 105.
Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15
Ответ дайте в градусах.
Решение:
AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, 
и
– внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей АВ. Их сумма равна
значит, 
Ответ: 150.
Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и
Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
тогда
– равнобедренный, в нем
Значит, 
Ответ: 5,5.
Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей
Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении
считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Решение:
Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.
Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.
Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть
7x+7x+4x+4x=88.
Отсюда

Ответ: 28.
Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна
? Ответ дайте в градусах.
Решение:
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на рисунок. По условию,
то есть 
Углы
и
– односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
по свойству односторонних углов.
Итак, 
тогда 
Ответ: 115.
Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
Решение:
и
– внутренние односторонние углы и при параллельных прямых
и
и секущей BC; их сумма равна 
BE – биссектриса угла В, значит
как накрест лежащие углы при
и секущей BE. Тогда
– равнобедренный, 
Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит
как накрест лежащие углы при
и секущей CE. Тогда
– равнобедренный и 
Значит 
Ответ : 10.
Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122
Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
и
– это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей BC, их сумма равна 
Значит, 
– ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.
Тогда 
Ответ: 29.
Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен
Найдите острый угол ромба.
Решение:
Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен
градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен 
Ответ: 72.
Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150
Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть 
Углы, прилежащие к боковой стороне
трапеции, являются внутренними односторонними при
и секущей BC. Их сумма равна 
Тогда
Построим высоту из вершины
Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30
Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в
и равный половине гипотенузы, т. е. 
Отсюда

Ответ: 42.
Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна
? Ответ дайте в градусах.
Решение:
У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е. 
По условию, 
и
прилежащие к боковой стороне
трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и
и секущей BC. Их сумма равна 

Получили:

Сложив два уравнения, получим:
тогда 
Ответ: 115.
Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.
Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол
Найдите площадь трапеции.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна
Значит, острый угол трапеции равен 30
Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. 
Отсюда


Ответ: 60.
Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен
Найдите меньшую боковую сторону.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна
Значит, острый угол равен 
Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.
Отсюда


Ответ: 16,5.
Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD,
и
Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна
Значит, острый угол равен 
Нам дана трапеция, в которой
Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями
и
.
и
параллельны, BD секущая, тогда 

Ответ: 70.
Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.
Решение:
ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.
AK – биссектриса угла А, значит, 
как накрест лежащие углы при параллельных прямых
и
и секущей AK.
Получили, что
– равнобедренный и 
значит 

Ответ: 2.
Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите
если
Ответ дайте в градусах.
Решение:
(как накрест лежащие углы).
(развернутый угол).
Тогда 
Ответ: 39.
Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и
Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е. 

и
параллельны, АС – секущая, 
– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

Ответ: 38.
Если вам понравился наш материал на тему "Углы при параллельных прямых и секущей" - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023