Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая $c$ пересекает параллельные прямые $a$ и $b$ . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

$\angle 1=\angle 3;$

$\angle 2=\angle 4.$

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

$\angle 3=\angle 5$ ,

$\angle 1=\angle 7$ ,

$\angle 2=\angle 8$ ,

$\angle 4=\angle 6$ .

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$ , то есть

$\angle 1+\angle 6=180^{\circ}$ ,

$\angle 4+\angle 7=180^{\circ}$ .

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

$\angle 2=\angle 6$ ,

$\angle 3=\angle 7$ .

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

$\angle 3=\angle 5$ ,

$\angle 1=\angle 7$ ,

$\angle 2=\angle 8$ ,

$\angle 4=\angle 6$ .

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: $\angle ACB$ и $\angle FNM.$ Известно, что их стороны параллельны: $CA\parallel NF$ и $CB\parallel NM.$

Докажем, что $\angle ACB=\angle FNM.$

Пусть $NF\cap \ CB=D.$

Тогда $\angle ACB=\angle FDB$ как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

$\angle FDB=\angle FNM,$ как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что $\angle ACB=\angle FNM,$ что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют $180{}^\circ ,$ если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: $\angle ACB$ – острый, а $\angle FNM$ – тупой. Известно, что их стороны параллельны: $CA\parallel NF$ и $CB\parallel NM.$

Докажем, что сумма углов $\angle ACB$ и $\angle FNM$ равна $180{}^\circ .$

Пусть $NF\cap \ CB=D.$ Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, $\angle ACB$ и $\angle FNK$ с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е. $\angle ACB=\angle FNK.$

$\angle MNF+\angle FNK=180{}^\circ$ как смежные. Значит, $\angle MNF+\angle ACB=180{}^\circ.$

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых $a\$ и $b$ секущей AB накрест лежащие углы равны: $\angle 1=\angle 2.$

Докажем, что $a\parallel b.$ Если углы 1 и 2 прямые, то прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой $a.$

На прямой $b$ от точки В отложим отрезок ${BH}_1$ равный отрезку AH

$\triangle OHA=\triangle OH_1B$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle 3=\angle 4$ и $\angle 5=\angle 6.$ Из равенства $\angle 3=\angle 4\ \$ следует, что точка $H_1$ лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и $H_1$ лежат на одной прямой, а из равенства $\angle 5=\angle 6$ следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к прямой $HH_1,$ поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ соответственные углы равны, например $\angle 1=\angle 2.$

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то $\angle 2=\angle 3.$ Из этих двух равенств следует, что $\angle 1=\angle 3$ . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые $a$ и $b$ параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ сумма односторонних углов равна $180{}^\circ ,$ например $\angle 1+\angle 4=180{}^\circ.$

Так как углы 3 и 4 – смежные, то $\angle 3+\angle 4=180.$ Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые $a$ и $b$ параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы $\angle KAD$ и $\angle AKB$ равны как накрест лежащие.

$BC=BK+KC=5+14=19,$

$\triangle ABK$ – равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

$P_{ABCD}=\left(AB+BC\right)\cdot 2;$

$P_{ABCD}=\left(5+19\right)\cdot 2=48.$

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна $180^\circ .$

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180{}^\circ .$

Мы получили, что

$\angle BAD+\angle ABC=180^\circ .$

AF - биссектриса угла А,

BF - биссектриса угла В, поэтому

$\angle FAB=\frac{1}{2}\angle BAD;\; \angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC,$ тогда

$\angle FAB+\angle ABF=90^\circ .$

Из треугольника AFB получим, что $AFB=90{}^\circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, ${AB}^2={AF}^2+{BF}^2\Rightarrow AB=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=\sqrt{676}=26.$

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС, $MN\parallel AC.$

Значит, $\ \angle BMN=\angle BAC,$ как односторонние углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей АВ.

$\triangle ABC\sim \triangle MBN$ по двум углам.

Отсюда $\displaystyle \frac{AB}{BM}=\displaystyle \frac{AC}{MN}\Rightarrow BM=\displaystyle \frac{AB\cdot MN}{AC}$ ;

$BM=\displaystyle \frac{28\cdot 12}{16}=21.$

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 ${}^\circ.$ Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, $AD\parallel BC$ – основания, AB – секущая.

Значит, $\angle A$ и $\angle B$ – внутренние односторонне углы.

Отсюда $\angle B=180{}^\circ -108{}^\circ =72{}^\circ.$

Ответ: $72.$

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна $180{}^\circ .$

Это значит, что $\angle BAD +\angle ABC = 180{}^\circ.$

AК - биссектриса угла А,

BК - биссектриса угла В, поэтому

$\angle KAB=\frac{1}{2}\angle BAD; \; \angle ABK=\frac{1}{2}\angle ABC,$ тогда

$\angle KAB+\angle ABK= 90{}^\circ .$

Из треугольника AKB получим, что $\angle ABK= 90{}^\circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки $K$ на прямую АВ, т.е. $KH=4.$

$\triangle AKN=\triangle AKH$ по гипотенузе и острому углу $\Rightarrow KN=KH.$

Аналогично, $\triangle BKH=\triangle BKM$ по гипотенузе и острому углу $\Rightarrow KH=KM.$

Получили: $KN=KH=KM=4\Rightarrow MN=8.$

Тогда $S_{ABCD}=AD\cdot MN$ ; $S_{ABCD}=8\cdot 7=56.$

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $\angle 1=120{}^\circ ,$ $\angle 2=60{}^\circ ,$ $\angle 3=55{}^\circ .$ Найдите $\angle 4.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\angle 1$ и $\angle 2$ – это внутренние односторонние углы,

$\angle 1+\angle 2=120{}^\circ +60{}^\circ =180{}^\circ.$

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е. $a\parallel b.$

Рассмотрим углы при параллельных прямых $a\parallel b$ и секущей d.

$\angle 3$ и $\angle 4$ – это односторонние углы, а значит, они равны: $\angle 3=\angle 4=55{}^\circ.$

Ответ: $55.$

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите $\angle 3,$ если $\angle 1=22{}^\circ ,$ $\angle 2=72{}^\circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$m\parallel n\Rightarrow \angle 1=\angle 4=22{}^\circ \$ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна $180{}^\circ .$

Для треугольника на рисунке:

$\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \Rightarrow \angle 3=180{}^\circ -72{}^\circ -22{}^\circ =86{}^\circ .$

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 ${}^\circ$ и 45 ${}^\circ.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30{}^\circ +45{}^\circ =75{}^\circ ,$

$\angle A$ и $\angle B$ – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

$AD\parallel BC$ и секущей АВ, их сумма равна $180{}^\circ .$

Тогда $\angle B=180{}^\circ -\angle A=180{}^\circ -75{}^\circ =105{}^\circ .\$

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 ${}^\circ.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, $\angle A=30{}^\circ.$

$\angle A\$ и $\angle B$ – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

$AD\parallel BC$ и секущей АВ. Их сумма равна $180{}^\circ ,$ значит, $\angle B=180{}^\circ -30{}^\circ =150{}^\circ.$

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $\angle ACD=169{}^\circ .$ Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: $AC=2AB\Rightarrow AO=OC=AB=CD,$ тогда $\triangle COD$ – равнобедренный, в нем $OC=\ CD.$ Значит, $\ \angle COD=\angle CDO=\displaystyle \frac{180{}^\circ -169{}^\circ }{2}=5,5{}^\circ .$

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении $3:4,$ считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда $x=4,$ $7x=28.$

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^\circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, $\alpha -\beta =50{}^\circ ,$ то есть $\alpha =\beta +50{}^\circ .$

Углы $\alpha$ и $\beta$ – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$\alpha +\beta =180{}^\circ ,$ по свойству односторонних углов.

Итак, $2\beta +50{}^\circ =180{}^\circ.$

$\beta =65{}^\circ ,$ тогда $\alpha =115{}^\circ .$

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

$\angle B$ и $\angle C$ – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

$AB$ и $DC$ и секущей BC; их сумма равна $180{}^\circ .$

BE – биссектриса угла В, значит $\angle ABE=\angle CBE=\angle BEA\$ как накрест лежащие углы при $BC\parallel AD$ и секущей BE. Тогда $\triangle ABE$ – равнобедренный, $AB=AE=5=DC.$

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит $\angle DCE=\angle BCE=\angle CED$ как накрест лежащие углы при $BC\parallel AD$ и секущей CE. Тогда $\triangle DCE$ – равнобедренный и $DC=DE=5.$

Значит $AD=AE+ED=10.$

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 ${}^\circ.$ Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\angle B$ и $\angle C$ – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

$AB\parallel DC$ и секущей BC, их сумма равна $180{}^\circ .$

Значит, $\angle C=180{}^\circ -\angle B=180{}^\circ -122{}^\circ =58{}^\circ .$

$ABCD$ – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда $\angle ACD=58\div 2=29{}^\circ .$

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен $54{}^\circ .$ Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен $54\cdot 2=108$ градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен $180{}^\circ -108{}^\circ =72{}^\circ .$

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 ${}^\circ.$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть $\angle D=150{}^\circ ;\ \ AB=18;\ \ DC=6;\ \ AD=7.$

Углы, прилежащие к боковой стороне $AD$ трапеции, являются внутренними односторонними при $AB\parallel DC$ и секущей BC. Их сумма равна $180{}^\circ .$

Тогда $\angle A=30{}^\circ .$ Построим высоту из вершины $D.$ Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30 ${}^\circ .$

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в $30{}^\circ$ и равный половине гипотенузы, т. е. $h=0.5\cdot AD=0.5\cdot 7=3.5.$

Отсюда $S_{ABCD}=\displaystyle \frac{DC+AB}{2}\cdot h;$ $S_{ABCD}=\displaystyle \frac{6+18}{2}\cdot 3.5=12\cdot 3.5=42.$

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^\circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е. $\angle A=\angle B; \; \angle D=\angle C.$

По условию, $\angle D-\angle B=50{}^\circ \Rightarrow \angle C-\angle B=50{}^\circ ;$

$\angle C$ и $\angle B,$ прилежащие к боковой стороне $CB$ трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
$AB$ и $DC$ и секущей BC. Их сумма равна $180{}^\circ .$

$\angle C+\angle B=180{}^\circ.$

Получили:

$\left\{ \begin{array}{c}\angle C-\angle B=50{}^\circ \\\angle C+\angle B=180{}^\circ \end{array}\right. .$

Сложив два уравнения, получим: $2\angle C=230{}^\circ ,$ тогда $\angle C=115{}^\circ.$

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150{}^\circ .$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна $180{}^\circ .$ Значит, острый угол трапеции равен 30 ${}^\circ .$ Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. $h=4.$

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135{}^\circ .$ Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^\circ .$ Значит, острый угол равен $45{}^\circ .$

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, $\angle BDA=40{}^\circ$ и $\angle BDC=30{}^\circ .$ Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\angle D=\angle BDA+\angle BDC=40{}^\circ +30{}^\circ =70{}^\circ .$ Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^\circ .$ Значит, острый угол равен $110{}^\circ .$

Нам дана трапеция, в которой $AB=CD.$ Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями $AD$ и $BC\$ .

$AD$ и $BC$ параллельны, BD секущая, тогда $\angle ADB=\angle DBC=40{}^\circ .$

$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=110{}^\circ -40{}^\circ =70{}^\circ.$

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит, $\angle BAK=\angle KAD;$

$\angle KAD=\angle AKC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей AK.

Получили, что $\triangle ABK$ – равнобедренный и $AB=BK=4.$

$P_{ABCD}=\left(AB+AD\right)\cdot 2=20,$ значит $AB+AD=10\Rightarrow AD=6,$

$KC=BC-BK=6-4=2.$

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3,$ если $\angle 1=117{}^\circ ,$ $\angle 2=24{}^\circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$m\parallel n,$ $\angle 2=\angle 4=24{}^\circ$ (как накрест лежащие углы).

$\angle 1+\angle 4+\angle 3=180{}^\circ$ (развернутый угол).

Тогда $\angle 3=180{}^\circ -\left(\angle 1+\angle 4\right)=180{}^\circ -\left(117{}^\circ +24{}^\circ \right)=39{}^\circ .$

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $\angle ACD=104{}^\circ .$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е. $AC\cap BD=O.$

$AC=2AB\Rightarrow AB=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot AC\Rightarrow AB=AO=OC=CD.$

$AB$ и $CD$ параллельны, АС – секущая, $\Rightarrow \angle BAC=\angle ACD=104{}^\circ .$

$AB=AO\Rightarrow \triangle BAO$ – равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

$\angle BOA=\displaystyle \frac{180{}^\circ -104{}^\circ }{2}=38{}^\circ .$

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему "Углы при параллельных прямых и секущей" - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Это полезно