Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые $a$ и $b$ . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы $1$ и $3$ — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

$\angle 1=\angle 3$

$\angle 2=\angle 4$

Конечно, углы $5$ и $7$ , $6$ и $8$ — тоже вертикальные.

Углы $1$ и $2$ — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ .

Углы $3$ и $5$ (а также $1$ и $7$ , $2$ и $8$ , $4$ и $6$ ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

$\angle 3=\angle 5$ ,

$\angle 1=\angle 7$ ,

$\angle 2=\angle 8$ ,

$\angle 4=\angle 6$ .

Углы $1$ и $6$ — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы $4$ и $7$ — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$ , то есть

$\angle 1+\angle 6=180^{\circ}$ ,

$\angle 4+\angle 7=180^{\circ}$ .

Углы $2$ и $6$ (а также $3$ и $7$ , $1$ и $5$ , $4$ и $8$ ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

$\angle 2=\angle 6$ ,

$\angle 3=\angle 7$ .

Углы $3$ и $5$ (а также $2$ и $8$ , $1$ и $7$ , $4$ и $6$ ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

$\angle 3=\angle 5$ ,

$\angle 1=\angle 7$ ,

$\angle 2=\angle 8$ ,

$\angle 4=\angle 6$ .

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении $3:4$ , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен $88$ .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть $B \mkern -2mu M$ — биссектриса тупого угла $B$ . По условию, отрезки $M \mkern -3mu D$ и $AB$ равны $3x$ и $4x$ соответственно.

Рассмотрим углы $C \mkern -2mu B \mkern -2mu M$ и $B \mkern -2mu M \mkern -2mu A$ . Поскольку $AD$ и $BC$ параллельны, $B \mkern -2mu M$ — секущая, углы $C \mkern -2mu B \mkern -2mu M$ и $B \mkern -2mu M \mkern -3mu A$ являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный, следовательно, $AB = AM = 4x$ .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

$7x + 7x + 4x + 4x = 88$ .

Отсюда $x = 4$ , $7x = 28$ .

Ответ: $28$ .

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $28^{\circ}$ и $34^{\circ}$ . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: $118^{\circ}$ .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50^{\circ}$ ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, $\alpha -\beta =50^{\circ}$ , то есть $\alpha =\beta + 50^{\circ}$ .

Углы $\alpha$ и $\beta$ — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$\alpha + \beta =180$ °.

Итак, $2\beta +50^{\circ}=180^{\circ}$

$\beta =65^{\circ}$ , тогда $\alpha =115^{\circ}$ .

Ответ: $115^{\circ}$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше