Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и
. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и
— вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и
,
и
— тоже вертикальные.
Углы и
— смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна
.
Углы и
(а также
и
,
и
,
и
) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
,
,
,
.
Углы и
— односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы
и
— тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна
, то есть
,
.
Углы и
(а также
и
,
и
,
и
) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
,
.
Углы и
(а также
и
,
и
,
и
) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
,
,
,
.
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен
.
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла
. По условию, отрезки
и
равны
и
соответственно.
Рассмотрим углы и
. Поскольку
и
параллельны,
— секущая, углы
и
являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник
— равнобедренный, следовательно,
.
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
.
Отсюда ,
.
Ответ: .
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и
. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть
.
Углы и
— односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
°.
Итак,
, тогда
.
Ответ: .