Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая c пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы при параллельных прямых и секущей

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

\angle 1=\angle 3;

\angle 2=\angle 4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180^{\circ}.

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

\angle 3=\angle 5,

\angle 1=\angle 7,

\angle 2=\angle 8,

\angle 4=\angle 6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180^{\circ}, то есть

\angle 1+\angle 6=180^{\circ},

\angle 4+\angle 7=180^{\circ}.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

\angle 2=\angle 6,

\angle 3=\angle 7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

\angle 3=\angle 5,

\angle 1=\angle 7,

\angle 2=\angle 8,

\angle 4=\angle 6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: \angle ACB и \angle FNM. Известно, что их стороны параллельны: CA\parallel NF и CB\parallel NM.

Докажем, что \angle ACB=\angle FNM.

Пусть NF\cap \ CB=D.

Тогда \angle ACB=\angle FDB как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

\angle FDB=\angle FNM, как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что \angle ACB=\angle FNM, что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 180{}^\circ , если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: \angle ACB – острый, а \angle FNM – тупой. Известно, что их стороны параллельны: CA\parallel NF и CB\parallel NM.

Докажем, что сумма углов \angle ACB и \angle FNM равна 180{}^\circ .

Пусть NF\cap \ CB=D. Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, \angle ACB и \angle FNK с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е. \angle ACB=\angle FNK.

\angle MNF+\angle FNK=180{}^\circ как смежные. Значит, \angle MNF+\angle ACB=180{}^\circ.

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a\ и b секущей AB накрест лежащие углы равны: \angle 1=\angle 2.

Докажем, что a\parallel b. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые a и b перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой a.

На прямой b от точки В отложим отрезок {BH}_1 равный отрезку AH

\triangle OHA=\triangle OH_1B по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle 3=\angle 4 и \angle 5=\angle 6. Из равенства \angle 3=\angle 4\ \ следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства \angle 5=\angle 6 следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c соответственные углы равны, например \angle 1=\angle 2.

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то \angle 2=\angle 3. Из этих двух равенств следует, что \angle 1=\angle 3 . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180{}^\circ , например \angle 1+\angle 4=180{}^\circ.

Так как углы 3 и 4 – смежные, то \angle 3+\angle 4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы \angle KAD и \angle AKB равны как накрест лежащие.

BC=BK+KC=5+14=19,

\triangle ABK – равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

P_{ABCD}=\left(AB+BC\right)\cdot 2;

P_{ABCD}=\left(5+19\right)\cdot 2=48.

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна 180^\circ .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна180{}^\circ .

Мы получили, что

\angle BAD+\angle ABC=180^\circ .

AF - биссектриса угла А,

BF - биссектриса угла В, поэтому

\angle FAB=\frac{1}{2}\angle BAD;\; \angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC, тогда

\angle FAB+\angle ABF=90^\circ .

Из треугольника AFB получим, что AFB=90{}^\circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, {AB}^2={AF}^2+{BF}^2\Rightarrow AB=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=\sqrt{676}=26.

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС, MN\parallel AC.

Значит,\ \angle BMN=\angle BAC, как односторонние углы при параллельных прямых MN и AC и секущей АВ.

\triangle ABC\sim \triangle MBN по двум углам.

Отсюда \displaystyle \frac{AB}{BM}=\displaystyle \frac{AC}{MN}\Rightarrow BM=\displaystyle \frac{AB\cdot MN}{AC};

BM=\displaystyle \frac{28\cdot 12}{16}=21.

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108{}^\circ. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, AD\parallel BC – основания, AB – секущая.

Значит, \angle A и \angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда \angle B=180{}^\circ -108{}^\circ =72{}^\circ.

Ответ: 72.

 

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна 180{}^\circ .

Это значит, что \angle BAD +\angle ABC = 180{}^\circ.

AК - биссектриса угла А,

BК - биссектриса угла В, поэтому

\angle KAB=\frac{1}{2}\angle BAD; \; \angle ABK=\frac{1}{2}\angle ABC, тогда

\angle KAB+\angle ABK= 90{}^\circ .

Из треугольника AKB получим, что \angle ABK= 90{}^\circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки K на прямую АВ, т.е. KH=4.

\triangle AKN=\triangle AKH по гипотенузе и острому углу \Rightarrow KN=KH.

Аналогично, \triangle BKH=\triangle BKM по гипотенузе и острому углу \Rightarrow KH=KM.

Получили: KN=KH=KM=4\Rightarrow MN=8.

Тогда S_{ABCD}=AD\cdot MN; S_{ABCD}=8\cdot 7=56.

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что \angle 1=120{}^\circ , \angle 2=60{}^\circ , \angle 3=55{}^\circ . Найдите \angle 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\angle 1 и \angle 2 – это внутренние односторонние углы,

\angle 1+\angle 2=120{}^\circ +60{}^\circ =180{}^\circ.

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е. a\parallel b.

Рассмотрим углы при параллельных прямых a\parallel b и секущей d.

\angle 3 и \angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: \angle 3=\angle 4=55{}^\circ.

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите \angle 3, если \angle 1=22{}^\circ , \angle 2=72{}^\circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

m\parallel n\Rightarrow \angle 1=\angle 4=22{}^\circ \ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна 180{}^\circ .

Для треугольника на рисунке:

\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \Rightarrow \angle 3=180{}^\circ -72{}^\circ -22{}^\circ =86{}^\circ .

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30{}^\circ и 45{}^\circ. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30{}^\circ +45{}^\circ =75{}^\circ ,

\angle A и \angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

AD\parallel BC и секущей АВ, их сумма равна 180{}^\circ .

Тогда \angle B=180{}^\circ -\angle A=180{}^\circ -75{}^\circ =105{}^\circ .\

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15{}^\circ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, \angle A=30{}^\circ.

\angle A\ и \angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

AD\parallel BC и секущей АВ. Их сумма равна 180{}^\circ , значит, \angle B=180{}^\circ -30{}^\circ =150{}^\circ.

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и \angle ACD=169{}^\circ . Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: AC=2AB\Rightarrow AO=OC=AB=CD, тогда \triangle COD – равнобедренный, в нем OC=\ CD. Значит, \ \angle COD=\angle CDO=\displaystyle \frac{180{}^\circ -169{}^\circ }{2}=5,5{}^\circ .

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^\circ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, \alpha -\beta =50{}^\circ , то есть \alpha =\beta +50{}^\circ .

Углы \alpha и \beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

\alpha +\beta =180{}^\circ , по свойству односторонних углов.

Итак, 2\beta +50{}^\circ =180{}^\circ.

\beta =65{}^\circ , тогда \alpha =115{}^\circ .

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

\angle B и \angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

AB и DC и секущей BC; их сумма равна 180{}^\circ .

BE – биссектриса угла В, значит \angle ABE=\angle CBE=\angle BEA\ как накрест лежащие углы при BC\parallel AD и секущей BE. Тогда \triangle ABE – равнобедренный, AB=AE=5=DC.

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит \angle DCE=\angle BCE=\angle CED как накрест лежащие углы при BC\parallel AD и секущей CE. Тогда \triangle DCE – равнобедренный и DC=DE=5.

Значит AD=AE+ED=10.

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122{}^\circ. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\angle B и \angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

AB\parallel DC и секущей BC, их сумма равна 180{}^\circ .

Значит, \angle C=180{}^\circ -\angle B=180{}^\circ -122{}^\circ =58{}^\circ .

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда \angle ACD=58\div 2=29{}^\circ .

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен 54{}^\circ . Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен 54\cdot 2=108 градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен 180{}^\circ -108{}^\circ =72{}^\circ .

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^\circ. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \angle D=150{}^\circ ;\ \ AB=18;\ \ DC=6;\ \ AD=7.

Углы, прилежащие к боковой стороне AD трапеции, являются внутренними односторонними при AB\parallel DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^\circ .

Тогда \angle A=30{}^\circ . Построим высоту из вершины D. Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30{}^\circ .

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в 30{}^\circ и равный половине гипотенузы, т. е. h=0.5\cdot AD=0.5\cdot 7=3.5.

Отсюда S_{ABCD}=\displaystyle \frac{DC+AB}{2}\cdot h; S_{ABCD}=\displaystyle \frac{6+18}{2}\cdot 3.5=12\cdot 3.5=42.

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^\circ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е. \angle A=\angle B; \; \angle D=\angle C.

По условию, \angle D-\angle B=50{}^\circ \Rightarrow \angle C-\angle B=50{}^\circ ;

\angle C и \angle B, прилежащие к боковой стороне CB трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
AB и DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^\circ .

\angle C+\angle B=180{}^\circ.

Получили:

\left\{ \begin{array}{c}\angle C-\angle B=50{}^\circ \\\angle C+\angle B=180{}^\circ \end{array}\right. .

Сложив два уравнения, получим: 2\angle C=230{}^\circ , тогда \angle C=115{}^\circ.

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^\circ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна 180{}^\circ . Значит, острый угол трапеции равен 30{}^\circ . Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135{}^\circ . Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^\circ . Значит, острый угол равен 45{}^\circ .

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, \angle BDA=40{}^\circ и \angle BDC=30{}^\circ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\angle D=\angle BDA+\angle BDC=40{}^\circ +30{}^\circ =70{}^\circ . Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^\circ . Значит, острый угол равен 110{}^\circ .

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями AD и BC\ .

AD и BC параллельны, BD секущая, тогда \angle ADB=\angle DBC=40{}^\circ .

\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=110{}^\circ -40{}^\circ =70{}^\circ.

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит, \angle BAK=\angle KAD;

\angle KAD=\angle AKC как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK.

Получили, что \triangle ABK – равнобедренный и AB=BK=4.

P_{ABCD}=\left(AB+AD\right)\cdot 2=20, значит AB+AD=10\Rightarrow AD=6,

KC=BC-BK=6-4=2.

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите \angle 3, если \angle 1=117{}^\circ , \angle 2=24{}^\circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

m\parallel n, \angle 2=\angle 4=24{}^\circ (как накрест лежащие углы).

\angle 1+\angle 4+\angle 3=180{}^\circ (развернутый угол).

Тогда \angle 3=180{}^\circ -\left(\angle 1+\angle 4\right)=180{}^\circ -\left(117{}^\circ +24{}^\circ \right)=39{}^\circ .

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и \angle ACD=104{}^\circ . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е. AC\cap BD=O.

AC=2AB\Rightarrow AB=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot AC\Rightarrow AB=AO=OC=CD.

AB и CD параллельны, АС – секущая, \Rightarrow \angle BAC=\angle ACD=104{}^\circ .

AB=AO\Rightarrow \triangle BAO – равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

\angle BOA=\displaystyle \frac{180{}^\circ -104{}^\circ }{2}=38{}^\circ .

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему "Углы при параллельных прямых и секущей" - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

 

Поделиться страницей

Это полезно

Задача 18 на числа и их свойства
В этой статье мы расскажем, какие непростые и нестандартные задачи встречались на ЕГЭ-2022 по математике.
Математика «100 баллов»
Задачи на числа и их свойства.
Олимпиадные методы решения!