Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые $a$ и $b$ . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы $1$ и $3$ — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

$\angle 1=\angle 3$

$\angle 2=\angle 4$

Конечно, углы $5$ и $7$ , $6$ и $8$ — тоже вертикальные.

Углы $1$ и $2$ — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ .

Углы $3$ и $5$ (а также $1$ и $7$ , $2$ и $8$ , $4$ и $6$ ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

$\angle 3=\angle 5$ ,

$\angle 1=\angle 7$ ,

$\angle 2=\angle 8$ ,

$\angle 4=\angle 6$ .

Углы $1$ и $6$ — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы $4$ и $7$ — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$ , то есть

$\angle 1+\angle 6=180^{\circ}$ ,

$\angle 4+\angle 7=180^{\circ}$ .

Углы $2$ и $6$ (а также $3$ и $7$ , $1$ и $5$ , $4$ и $8$ ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

$\angle 2=\angle 6$ ,

$\angle 3=\angle 7$ .

Углы $3$ и $5$ (а также $2$ и $8$ , $1$ и $7$ , $4$ и $6$ ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

$\angle 3=\angle 5$ ,

$\angle 1=\angle 7$ ,

$\angle 2=\angle 8$ ,

$\angle 4=\angle 6$ .

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении $3:4$ , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен $88$ .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть $B \mkern -2mu M$ — биссектриса тупого угла $B$ . По условию, отрезки $M \mkern -3mu D$ и $AB$ равны $3x$ и $4x$ соответственно.

Рассмотрим углы $C \mkern -2mu B \mkern -2mu M$ и $B \mkern -2mu M \mkern -2mu A$ . Поскольку $AD$ и $BC$ параллельны, $B \mkern -2mu M$ — секущая, углы $C \mkern -2mu B \mkern -2mu M$ и $B \mkern -2mu M \mkern -3mu A$ являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный, следовательно, $AB = AM = 4x$ .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

$7x + 7x + 4x + 4x = 88$ .

Отсюда $x = 4$ , $7x = 28$ .

Ответ: $28$ .

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $28^{\circ}$ и $34^{\circ}$ . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: $118^{\circ}$ .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50^{\circ}$ ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, $\alpha -\beta =50^{\circ}$ , то есть $\alpha =\beta + 50^{\circ}$ .

Углы $\alpha$ и $\beta$ — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$\alpha + \beta =180$ °.

Итак, $2\beta +50^{\circ}=180^{\circ}$

$\beta =65^{\circ}$ , тогда $\alpha =115^{\circ}$ .

Ответ: $115^{\circ}$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.