Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота проведена к гипотенузе $AB$ . Она делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника — $AC \mkern -3mu H$ и $C \mkern -3mu H \mkern -3mu B$ . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$ . Значит, $\angle AC \mkern -3mu H=90^{\circ}-\angle C \mkern -3mu AH$ , то есть угол $AC \mkern -3mu H$ равен углу $ABC$ . Аналогично, угол $C \mkern -3mu AB$ равен углу $H \mkern -3mu C \mkern -3mu B$ .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника $ABC$ равен одному из углов треугольника $AC \mkern -3mu H$ (и треугольника $BC \mkern -3mu H$ ). Треугольники $ABC, AC \mkern -3mu H$ и $BC \mkern -3mu H$ называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники $AC \mkern -3mu H$ и $ABC$ . Стороны треугольника $ABC$ длиннее, чем стороны треугольника $AC \mkern -3mu H$ в $k$ раз:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle A \mkern -3mu H} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle C \mkern -3mu H} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}$

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников $ABC, AC \mkern -3mu H$ и $BC \mkern -3mu H$ , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника $ABC$ можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $C \mkern -3mu H$ — высота, $BC=3$ , $\cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}$ . Найдите $A \mkern -3mu H$ .

Рассмотрим треугольник $ABC$ . В нем известны косинус угла $A$ и противолежащий катет $BC$ . Зная синус угла $A$ , мы могли бы найти гипотенузу $AB$ . Так давайте найдем $\sin A$ :

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
$\sin^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1$
$\sin^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36}$
$\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

$AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BC \mkern -3mu H$ , $\angle H = 90^{\circ}$ . Поскольку $\angle H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = \angle A$

$\sin H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = H \mkern -3mu B : BC$

Отсюда $H \mkern -3mu B=BC \cdot \sin HC \mkern -3mu B = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5$

$A \mkern -3mu H = A \mkern -3mu B - H \mkern -3mu B=18-0,5=17,5$

Ответ: $16$ .

2. В треугольнике $A \mkern -3mu BC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AC=8$ , $\sin A = 0,5$ . Найдите высоту $C \mkern -3mu H$ .

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник $AC \mkern -3mu H$ .

Ответ: $4$ .

3. В треугольнике $A \mkern -3mu BC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB=13$ , $tg \, A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ . К гипотенузе проведена высота $C \mkern -3mu H$ . Найдите $A \mkern -3mu H$ .

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты $a$ и $b$ .

Зато можно записать теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 13^2$ .

Нам известно также, что:

$tg \, A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

$a = \sqrt{6,5}:b=5\sqrt{6,5}$

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch$

и найдем $C \mkern -3mu H = 2,5$ .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.