Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним определение. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

\angle BAC =\angle BCH;

\angle ABC =\angle ACH;

sin A\displaystyle = \frac{a}{c}=\frac{h}{b}=\frac{BH}{a};

cos A\displaystyle = \frac{b}{c}=\frac{h}{a}=\frac{AH}{b};

\displaystyle S_{ABC}= \frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}.

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника — AC \mkern -3mu H и C \mkern -3mu H \mkern -3mu B. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90^{\circ}. Значит, \angle AC \mkern -3mu H=90^{\circ}-\angle C \mkern -3mu AH, то есть угол AC \mkern -3mu H равен углу ABC. Аналогично, угол C \mkern -3mu AB равен углу H \mkern -3mu C \mkern -3mu B.

Иными словами, каждый из трех углов треугольника ABC равен одному из углов треугольника AC \mkern -3mu H (и треугольника BC \mkern -3mu H). Треугольники ABC, AC \mkern -3mu H и BC \mkern -3mu H называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Подобные треугольники

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники AC \mkern -3mu H и ABC. Стороны треугольника ABC длиннее, чем стороны треугольника AC \mkern -3mu H в k раз:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle A \mkern -3mu H} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle C \mkern -3mu H} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}.

Мы доказали свойство высоты прямоугольного треугольника. Его можно сформулировать как теорему.

Теорема 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольника на три подобных друг другу треугольника:

\triangle AHC \approx \triangle CHB \approx \triangle ACB.

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников ABC, AC \mkern -3mu H и BC \mkern -3mu H, а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника ABC можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту. В геометрии это называется «метод площадей» и часто применяется в решении задач.

Задача 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, CH — высота, BC = 3, cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}. Найдите AH.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем sin A:

sin{}^2A + cos{}^2A = 1.

Эта формула – основное тригонометрическое тождество. Конечно, вы его знаете:

sin{}^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1;

sin{}^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36};

sin A= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} (поскольку значение синуса острого угла положительно).

Тогда:

AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BC \mkern -3mu H, \angle H = 90^{\circ}. Поскольку \angle H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = \angle A,

\sin H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = H \mkern -3mu B : BC.

Отсюда H \mkern -3mu B=BC \cdot \sin HC \mkern -3mu B = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5.

A \mkern -3mu H = A \mkern -3mu B - H \mkern -3mu B=18-0,5=17,5.

Ответ: 16.

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90{}^{\circ}, AB = 13, tg A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}. К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Запишем теорему Пифагора: a^2 + b^2 = 13^2. (1)

Нам известно также, что:

tg A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}. (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем:

a = \sqrt{6,5}:b=5\sqrt{6,5}.

Запишем площадь треугольника AВС двумя способами:

S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch

и найдем длину CH = 2,5.

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений, как в алгебре.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и гипотенузой AB:

sin\displaystyle (\angle BAC)=\frac{a}{c}.

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

sin\displaystyle (\angle BAC)=\frac{h}{b}.

Мы разными способами вычислили синус одного и того же угла. Приравняем полученные выражения:

\displaystyle \frac{h}{b}=\frac{a}{c}.

Найдем высоту:

\displaystyle h= \frac{ab}{c}.

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20.
Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Воспользуемся теоремой 2 о высоте прямоугольного треугольника:

Катеты BС и AС нам известны: BC = 15, AC = 20. Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:

{AB}^2={BC}^2+{AC}^2={15}^2+{20}^2={25}^2,\ \ \ \ AB=25.\

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла:

\displaystyle CH=\frac{15\cdot 20}{25}=12.

Ответ: 12.

Теорема 3. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

CH^2=BH\cdot AH.

Сейчас мы докажем эту полезную формулу.

Вспомним, что такое проекция точки на прямую. Например, из точки С опускаем СН - перпендикуляр к прямой AВ. Точка Н и будет проекцией точки С. Тогда AН – проекция катета AВ, а BН – проекция катета BС.

Обозначим: BH=c_a,\ AH=c_b.

Доказательство проведем двумя способами.

Первый способ доказательства:

Из прямоугольного треугольника BНС с прямым углом Н и гипотенузой BС:

tg\displaystyle (\angle CBH)=\frac{h}{c_a}.

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

ctg\displaystyle (\angle CAH) = \frac{c_b}{h}.

Заметим, что угол CBН – это угол CBA, а угол CAН – это угол BAC. Тогда:

tg(\angle ABC)=ctg(\angle BAC);

tg(\angle CBH)=ctg(\angle CAH);

\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.

Мы воспользовались тем, что тангенс и котангенс двух разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу. Это следует из определения тангенса и котангенса.

Преобразуем получившееся выражение:

\displaystyle h=\frac{c_a \cdot c_b}{h} \Rightarrow h^2 = c_a c_b .

Что и требовалось доказать.

Второй способ доказательства:

Воспользуемся подобием треугольников, о которых говорится в теореме 1.

Рассмотрим пару прямоугольных треугольников AНC и BНC. Как было показано выше, эти треугольники подобны по двум углам, поэтому

\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.

Мы получили такое же соотношение, как и в первом способе доказательства.

Далее аналогично получим, что

h^2 = c_a c_b .

Что и требовалось доказать.

Задача 4. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4, BH = 16. Найдите длину CH.

Решение:

Воспользуемся теоремой 3 о высоте прямоугольного треугольника:

CH^2=BH\cdot AH.

Подставим данные задачи.

{CH}^2=4\cdot 16=64, CH = 8.

Ответ: 8.

Разберем решения других задач ОГЭ и ЕГЭ по теме «Свойства высоты в прямоугольном треугольнике».

Задача 5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла и отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС с гипотенузой AB. Проведем высоту CD=h.

Учитывая отношение катетов, обозначим их длины как: BC = 3x, AC = 4x.

Тогда по теореме Пифагора получим:

AB=\sqrt{9x^2 +16 x^2} = \sqrt{25 x^2}=5x.

По условию гипотенуза AB = 50. Следовательно, х = 10, BC = 30, AC = 40.

Далее можно действовать разными способами. Например, так.

\displaystyle CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{30\cdot 40}{50}=24.

AD=AC\cdot {cos A},\; BD=BC\cdot {cos B}, где по определению косинуса:

cos A \displaystyle =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\; cos B\displaystyle =\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.

\displaystyle AD=AC\cdot \frac{4}{5}=32,\; BD=BC\cdot \frac{3}{5}=18.

Ответ: CD=24, \; AD=32,\; BD=18.

Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу на отрезки AD = 3 см и BD = 2 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

Найдем квадрат длины высоты с помощью теоремы 3:

{CD}^2=AD\cdot BD=3\cdot 2=6.

Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора найдем

{AC}^2={AD}^2+{CD}^2=9+6=15,\; AC= \sqrt{15} см.

Из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора найдем

{BC}^2={BD}^2+{CD}^2=4+6=10,\; BC= \sqrt{10} см.

Ответ: \sqrt{15} см и \sqrt{10} см.

Задача 7. Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла C треугольника ABC к гипотенузе AB. Найдите AC, если AD=8, AB=32.

Указание:

Найдите отрезок BD = AB - AD, после чего задача сводится к предыдущей.

Длину высоты прямоугольного треугольника можно также найти, если известны гипотенуза и один из острых углов треугольника.

h = c sin\alpha cos\alpha = c sin\beta cos\beta.

Докажем эту формулу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD: CD=AC cos \alpha.

В то же время из треугольника AВC: AC=AB sin \alpha.

Таким образом, h = CD = AC cos⁡\alpha = AB sin\alpha cos\alpha = c sin\alpha cos⁡\alpha.

Аналогично, из треугольника BCD получим: h = CD = BC cos\beta = AB sin⁡\beta cos\beta = c sin \beta cos⁡\beta.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Воспользуемся доказанной выше формулой:

h = c sin\alpha cos\alpha = 10 sin {15}^\circcos {15}^\circ = 5sin {30}^\circ = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задача 9. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 6 см и 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме данных отрезков:

c=6+4=10 см.

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе: h=\sqrt{6\cdot 4}=2\sqrt{6} см.

Площадь треугольника:

\displaystyle S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2\sqrt{6}=10\sqrt{6} см{}^2.

Ответ: 10\sqrt{6} см{}^2.

Если вам понравился наш материал - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

 

Поделиться страницей

Это полезно

Задача 18 на числа и их свойства
В этой статье мы расскажем, какие непростые и нестандартные задачи встречались на ЕГЭ-2022 по математике.
Математика «100 баллов»
Задачи на числа и их свойства.
Олимпиадные методы решения!