Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.
Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:
Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник
на два прямоугольных треугольника —
и
. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.
Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит,
, то есть угол
равен углу
. Аналогично, угол
равен углу
.
Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника
(и треугольника
). Треугольники
и
называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.
Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?
Возьмем треугольники и
. Стороны треугольника
длиннее, чем стороны треугольника
в
раз:
При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и
, а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника
можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.
1. В треугольнике угол
равен
,
— высота,
,
. Найдите
.
Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла
и противолежащий катет
. Зная синус угла
, мы могли бы найти гипотенузу
. Так давайте найдем
:
(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ,
. Поскольку
Отсюда
Ответ: .
2. В треугольнике угол
равен
,
,
. Найдите высоту
.
Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .
Ответ: .
3. В треугольнике угол
равен
,
,
. К гипотенузе проведена высота
. Найдите
.
Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и
.
Зато можно записать теорему Пифагора: .
Нам известно также, что:
Решая эту систему из двух уравнений, найдем:
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
и найдем .
Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.