Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота проведена к гипотенузе $AB$ . Она делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника — $AC \mkern -3mu H$ и $C \mkern -3mu H \mkern -3mu B$ . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$ . Значит, $\angle AC \mkern -3mu H=90^{\circ}-\angle C \mkern -3mu AH$ , то есть угол $AC \mkern -3mu H$ равен углу $ABC$ . Аналогично, угол $C \mkern -3mu AB$ равен углу $H \mkern -3mu C \mkern -3mu B$ .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника $ABC$ равен одному из углов треугольника $AC \mkern -3mu H$ (и треугольника $BC \mkern -3mu H$ ). Треугольники $ABC, AC \mkern -3mu H$ и $BC \mkern -3mu H$ называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники $AC \mkern -3mu H$ и $ABC$ . Стороны треугольника $ABC$ длиннее, чем стороны треугольника $AC \mkern -3mu H$ в $k$ раз:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle A \mkern -3mu H} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle C \mkern -3mu H} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}$

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников $ABC, AC \mkern -3mu H$ и $BC \mkern -3mu H$ , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника $ABC$ можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $C \mkern -3mu H$ — высота, $BC=3$ , $\cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}$ . Найдите $A \mkern -3mu H$ .

Рассмотрим треугольник $ABC$ . В нем известны косинус угла $A$ и противолежащий катет $BC$ . Зная синус угла $A$ , мы могли бы найти гипотенузу $AB$ . Так давайте найдем $\sin A$ :

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
$\sin^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1$
$\sin^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36}$
$\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

$AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BC \mkern -3mu H$ , $\angle H = 90^{\circ}$ . Поскольку $\angle H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = \angle A$

$\sin H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = H \mkern -3mu B : BC$

Отсюда $H \mkern -3mu B=BC \cdot \sin HC \mkern -3mu B = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5$

$A \mkern -3mu H = A \mkern -3mu B - H \mkern -3mu B=18-0,5=17,5$

Ответ: $16$ .

2. В треугольнике $A \mkern -3mu BC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AC=8$ , $\sin A = 0,5$ . Найдите высоту $C \mkern -3mu H$ .

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник $AC \mkern -3mu H$ .

Ответ: $4$ .

3. В треугольнике $A \mkern -3mu BC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB=13$ , $tg \, A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ . К гипотенузе проведена высота $C \mkern -3mu H$ . Найдите $A \mkern -3mu H$ .

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты $a$ и $b$ .

Зато можно записать теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 13^2$ .

Нам известно также, что:

$tg \, A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

$a = \sqrt{6,5}:b=5\sqrt{6,5}$

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch$

и найдем $C \mkern -3mu H = 2,5$ .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше