Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним определение. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

$\angle BAC =\angle BCH;$

$\angle ABC =\angle ACH;$

sin A $\displaystyle = \frac{a}{c}=\frac{h}{b}=\frac{BH}{a};$

cos A $\displaystyle = \frac{b}{c}=\frac{h}{a}=\frac{AH}{b};$

$\displaystyle S_{ABC}= \frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}.$

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника — $AC \mkern -3mu H$ и $C \mkern -3mu H \mkern -3mu B$ . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$ . Значит, $\angle AC \mkern -3mu H=90^{\circ}-\angle C \mkern -3mu AH$ , то есть угол $AC \mkern -3mu H$ равен углу $ABC$ . Аналогично, угол $C \mkern -3mu AB$ равен углу $H \mkern -3mu C \mkern -3mu B$ .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника $ABC$ равен одному из углов треугольника $AC \mkern -3mu H$ (и треугольника $BC \mkern -3mu H$ ). Треугольники $ABC, AC \mkern -3mu H$ и $BC \mkern -3mu H$ называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники $AC \mkern -3mu H$ и $ABC$ . Стороны треугольника $ABC$ длиннее, чем стороны треугольника $AC \mkern -3mu H$ в $k$ раз:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle A \mkern -3mu H} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle C \mkern -3mu H} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}.$

Мы доказали свойство высоты прямоугольного треугольника. Его можно сформулировать как теорему.

Теорема 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольника на три подобных друг другу треугольника:

$\triangle AHC \approx \triangle CHB \approx \triangle ACB.$

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников $ABC, AC \mkern -3mu H$ и $BC \mkern -3mu H$ , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника $ABC$ можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту. В геометрии это называется «метод площадей» и часто применяется в решении задач.

Задача 1.

В треугольнике ABC угол C равен $90^{\circ},$ CH — высота, BC = 3, cos A = $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}.$ Найдите AH.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем sin A:

sin ${}^2A$ + cos ${}^2A$ = 1.

Эта формула – основное тригонометрическое тождество. Конечно, вы его знаете:

sin ${}^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1;$

sin ${}^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36};$

sin A $= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$ (поскольку значение синуса острого угла положительно).

Тогда:

$AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BC \mkern -3mu H$ , $\angle H = 90^{\circ}$ . Поскольку $\angle H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = \angle A,$

$\sin H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = H \mkern -3mu B : BC.$

Отсюда $H \mkern -3mu B=BC \cdot \sin HC \mkern -3mu B = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5.$

$A \mkern -3mu H = A \mkern -3mu B - H \mkern -3mu B=18-0,5=17,5.$

Ответ: $16.$

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90 ${}^{\circ},$ AB = 13, tg A $= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ . К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Запишем теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 13^2.$ (1)

Нам известно также, что:

tg A $= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}.$ (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем:

$a = \sqrt{6,5}:b=5\sqrt{6,5}.$

Запишем площадь треугольника AВС двумя способами:

$S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch$

и найдем длину $CH = 2,5$ .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений, как в алгебре.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и гипотенузой AB:

sin $\displaystyle (\angle BAC)=\frac{a}{c}.$

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

sin $\displaystyle (\angle BAC)=\frac{h}{b}.$

Мы разными способами вычислили синус одного и того же угла. Приравняем полученные выражения:

$\displaystyle \frac{h}{b}=\frac{a}{c}.$

Найдем высоту:

$\displaystyle h= \frac{ab}{c}.$

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20.
Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Воспользуемся теоремой 2 о высоте прямоугольного треугольника:

Катеты BС и AС нам известны: BC = 15, AC = 20. Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:

${AB}^2={BC}^2+{AC}^2={15}^2+{20}^2={25}^2,\ \ \ \ AB=25.\$

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла:

$\displaystyle CH=\frac{15\cdot 20}{25}=12.$

Ответ: 12.

Теорема 3. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

$CH^2=BH\cdot AH.$

Сейчас мы докажем эту полезную формулу.

Вспомним, что такое проекция точки на прямую. Например, из точки С опускаем СН - перпендикуляр к прямой AВ. Точка Н и будет проекцией точки С. Тогда AН – проекция катета AВ, а BН – проекция катета BС.

Обозначим: $BH=c_a,\ AH=c_b.$

Доказательство проведем двумя способами.

Первый способ доказательства:

Из прямоугольного треугольника BНС с прямым углом Н и гипотенузой BС:

tg $\displaystyle (\angle CBH)=\frac{h}{c_a}.$

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

ctg $\displaystyle (\angle CAH) = \frac{c_b}{h}.$

Заметим, что угол CBН – это угол CBA, а угол CAН – это угол BAC. Тогда:

tg $(\angle ABC)=ctg(\angle BAC);$

tg $(\angle CBH)=ctg(\angle CAH);$

$\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.$

Мы воспользовались тем, что тангенс и котангенс двух разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу. Это следует из определения тангенса и котангенса.

Преобразуем получившееся выражение:

$\displaystyle h=\frac{c_a \cdot c_b}{h} \Rightarrow h^2 = c_a c_b .$

Что и требовалось доказать.

Второй способ доказательства:

Воспользуемся подобием треугольников, о которых говорится в теореме 1.

Рассмотрим пару прямоугольных треугольников AНC и BНC. Как было показано выше, эти треугольники подобны по двум углам, поэтому

$\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.$

Мы получили такое же соотношение, как и в первом способе доказательства.

Далее аналогично получим, что

$h^2 = c_a c_b .$

Что и требовалось доказать.

Задача 4. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4, BH = 16. Найдите длину CH.

Решение:

Воспользуемся теоремой 3 о высоте прямоугольного треугольника:

$CH^2=BH\cdot AH.$

Подставим данные задачи.

${CH}^2=4\cdot 16=64,$ CH = 8.

Ответ: 8.

Разберем решения других задач ОГЭ и ЕГЭ по теме «Свойства высоты в прямоугольном треугольнике».

Задача 5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла и отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС с гипотенузой AB. Проведем высоту CD=h.

Учитывая отношение катетов, обозначим их длины как: BC = 3x, AC = 4x.

Тогда по теореме Пифагора получим:

$AB=\sqrt{9x^2 +16 x^2} = \sqrt{25 x^2}=5x.$

По условию гипотенуза AB = 50. Следовательно, х = 10, BC = 30, AC = 40.

Далее можно действовать разными способами. Например, так.

$\displaystyle CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{30\cdot 40}{50}=24.$

$AD=AC\cdot {cos A},\; BD=BC\cdot {cos B},$ где по определению косинуса:

cos A $\displaystyle =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\;$ cos B $\displaystyle =\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.$

$\displaystyle AD=AC\cdot \frac{4}{5}=32,\; BD=BC\cdot \frac{3}{5}=18.$

Ответ: $CD=24, \; AD=32,\; BD=18.$

Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу на отрезки AD = 3 см и BD = 2 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

Найдем квадрат длины высоты с помощью теоремы 3:

${CD}^2=AD\cdot BD=3\cdot 2=6.$

Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора найдем

${AC}^2={AD}^2+{CD}^2=9+6=15,\; AC= \sqrt{15}$ см.

Из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора найдем

${BC}^2={BD}^2+{CD}^2=4+6=10,\; BC= \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{15}$ см и $\sqrt{10}$ см.

Задача 7. Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла C треугольника ABC к гипотенузе AB. Найдите AC, если AD=8, AB=32.

Указание:

Найдите отрезок BD = AB - AD, после чего задача сводится к предыдущей.

Длину высоты прямоугольного треугольника можно также найти, если известны гипотенуза и один из острых углов треугольника.

h = c sin $\alpha$ cos $\alpha$ = c sin $\beta$ cos $\beta.$

Докажем эту формулу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD: $CD=AC cos \alpha.$

В то же время из треугольника AВC: $AC=AB sin \alpha.$

Таким образом, h = CD = AC cos⁡ $\alpha$ = AB sin $\alpha$ cos $\alpha$ = c sin $\alpha$ cos⁡ $\alpha.$

Аналогично, из треугольника BCD получим: h = CD = BC cos $\beta$ = AB sin⁡ $\beta$ cos $\beta$ = c sin $\beta$ cos⁡ $\beta.$

Задача 8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Воспользуемся доказанной выше формулой:

h = c sin $\alpha$ cos $\alpha$ = 10 sin ${15}^\circ$ cos ${15}^\circ$ = 5sin ${30}^\circ$ = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задача 9. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 6 см и 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме данных отрезков:

$c=6+4=10$ см.

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе: $h=\sqrt{6\cdot 4}=2\sqrt{6}$ см.

Площадь треугольника:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2\sqrt{6}=10\sqrt{6}$ см ${}^2.$

Ответ: $10\sqrt{6}$ см ${}^2.$

Если вам понравился наш материал - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Высота в прямоугольном треугольнике

Это полезно