Slider

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высоты, медианы, биссектрисы треугольника

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Высота в треугольнике

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

Высота в тупоугольном треугольнике

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

Высоты в тупоугольном треугольнике

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство медианы

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу C4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Свойство биссектрисы

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Пусть биссектрисы треугольника ABC (в котором угол C равен 90^{\circ}) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

\angle M \mkern -4mu AB=0,5 \angle B \mkern -2mu AC,

\angle AB \mkern -2mu M=0,5 \angle ABC, тогда \angle AM \mkern -3mu B=180^{\circ} - \angle M \mkern -3mu AB - \angle AB \mkern -3mu M = 180^{\circ} - 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right)

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен \varphi.

Угол \varphi смежный с углом AM \mkern -3mu B, следовательно, \varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right).

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC = 90^{\circ}.

Тогда \varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right) = 90^{\circ}:2=45^{\circ}.

Ответ: 45.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^{\circ} и 61^{\circ}. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Пусть C \mkern -2mu H — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда \angle AC \mkern -3mu H = \angle ABC = 61^{\circ}

\angle AC \mkern -3mu K = 90^{\circ}:2=45^{\circ}.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол \angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H.

\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H = \angle A \mkern -1mu C \mkern -2mu H - \angle AC \mkern -3mu K = 61^{\circ}-45^{\circ}=16^{\circ}

Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58^{\circ} и 72^{\circ}. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Из треугольника A \mkern -2mu C \mkern -2mu H (угол H — прямой) найдем угол C \mkern -2mu AH. Он равен 18^{\circ}.

Из треугольника AC \mkern -2mu K (K — прямой) найдем угол AC \mkern -2mu K. Он равен 32^{\circ}.

В треугольнике AO \mkern -2mu C известны два угла. Найдем третий, то есть угол AO \mkern -2mu C, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

AO \mkern -2mu C = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 32^{\circ} = 130^{\circ}.

Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58^{\circ}, A \mkern -2mu D и B \mkern -2mu E — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AO \mkern -2mu B. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 4

Пусть в треугольнике ABC угол B \mkern -3mu AC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AO \mkern -2mu B.

\angle O \mkern -2mu AB = \angle A

\angle ABO = \angle B, тогда \angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right).

Из треугольника ABC получим, что \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}.

Тогда \angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right) = 180^{\circ}-61^{\circ}= 119^{\circ}.

Ответ: 119^{\circ}.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60^{\circ}, угол B равен 82^{\circ}. A \mkern -2mu D, B \mkern -2mu D и C \mkern -2mu F — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AO \mkern -3mu F. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 5

Найдем угол AC \mkern -3mu B. Он равен 38^{\circ}.

Тогда \angle AC \mkern -3mu F = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}.

Из треугольника AC \mkern -3mu F найдем угол \angle AF \mkern -2mu C = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}. Он равен 101^{\circ}.

Рассмотрим треугольник AO \mkern -3mu F.

\angle AF \mkern -2mu O = 101^{\circ}, \angle F \mkern -3mu AO = \angle B \mkern -3mu AC = 30^{\circ}. Значит \angle AO \mkern -3mu F = 49^{\circ}

Ответ: 49.

6. В треугольнике ABC, C \mkern -2mu D — медиана, угол AC \mkern -3mu B равен 90^{\circ}, угол B равен 58^{\circ}. Найдите угол AC \mkern -3mu D. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.