Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

 

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

 

 

 

 

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

 

 

 

 

Три высоты треугольника  всегда
пересекаются в одной точке.

 

 

 

 

 

 

В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.

 

 

 

 

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

 

 

 

 

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

 

 

 

 

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

 

 

 

 

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

 

 

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

 

 

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{m}{n}

 

 

 

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен 90^{\circ}) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

\angle M \mkern -4mu AB=0,5 \angle B \mkern -2mu AC,

\angle AB \mkern -2mu M=0,5 \angle ABC, тогда \angle AM \mkern -3mu B=180^{\circ} - \angle M \mkern -3mu AB - \angle AB \mkern -3mu M = 180^{\circ} - 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right).

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен \varphi.

Угол \varphi смежный с углом AMB, следовательно, \varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right).

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC = 90^{\circ}.

Тогда \varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right) = 90^{\circ}:2=45^{\circ}.

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^{\circ} и 61^{\circ}. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда \angle AC \mkern -3mu H = \angle ABC = 61^{\circ};

\angle AC \mkern -3mu K = 90^{\circ}:2=45^{\circ}.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол \angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H.

\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H = \angle A \mkern -1mu C \mkern -2mu H - \angle AC \mkern -3mu K = 61^{\circ}-45^{\circ}=16^{\circ}.

Ответ: 16.

Задача 3.  Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^{\circ} и 66^{\circ}. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

\angle CAB=24^{\circ }, \angle ABC=66^{\circ }. Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, \angle MCB=\angle MBC=66^{\circ }.

\angle BCD=\angle BAC=24^{\circ }.

Искомый \angle MCD=\angle MCB- \angle BCD=66^{\circ }-24^{\circ }=42^{\circ }.

Ответ: 42.

Задача 4.  Острые углы прямоугольного треугольника равны 27^{\circ} и 63^{\circ}. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

\angle CAB=23^{\circ }, \angle ABC=67^{\circ }.. Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, \angle MCB=\angle MBC=67^{\circ }.

\angle BCL=\angle ACL=90^{\circ }:2=45^{\circ }, т.к. CL – биссектриса.

Искомый \angle MCL=\angle MCB- \angle BCL=67^{\circ }-45^{\circ }=22^{\circ }.

Ответ: 22.

Задача 5.  Два угла треугольника равны 58^{\circ} и 72^{\circ}. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен 18^{\circ}.

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен 32^{\circ}.

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

\angle AOC = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 32^{\circ} = 130^{\circ}.

Ответ: 130.

Задача 6.  В треугольнике ABC угол С равен 58^{\circ}, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

\angle O \mkern -2mu AB = \angle A,

\angle ABO = \angle B, тогда \angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right).

Из треугольника ABC получим, что \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}.

Тогда \angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right) = 180^{\circ}-61^{\circ}= 119^{\circ}.

Ответ: 119.

Задача 7.  В треугольнике ABC угол A равен 60^{\circ}, угол B равен 82^{\circ}. AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен 38^{\circ}.

Тогда \angle AC \mkern -3mu F = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}.

Из треугольника ACF найдем угол \angle AF \mkern -2mu C = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}. Он равен 101^{\circ}.

Рассмотрим треугольник AOF.

\angle AF \mkern -2mu O = 101^{\circ}, \angle F \mkern -3mu AO = \angle B \mkern -3mu AC = 30^{\circ}. Значит \angle AO \mkern -3mu F = 49^{\circ}.

Ответ: 49.

Задача 8.  В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен 90^{\circ}, угол B равен 58^{\circ}. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому AD=CD=BD.

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: \angle ACD = \angle CAD.

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

\angle CAD=90^{\circ }-\angle ABC=90^{\circ }-58^{\circ }=22^{\circ }.

\angle ACD=\angle CAD=22^{\circ }.

Ответ: 22.

Задача 9.  В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен 50^{\circ}. Угол САD равен 28^{\circ}. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то \angle A=2\cdot \angle CAD=2\cdot 28^{\circ }=56^{\circ }.

Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}, следовательно,

\angle B=180^{\circ }- \angle A-\angle C=180^{\circ }-50^{\circ }-56^{\circ }=74^{\circ }.

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 26^{\circ}. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

\angle AOC=\angle OAH+\angle AHO=26^{\circ }+90^{\circ }=116^{\circ }.

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и \angle DAC=\angle ACD=\alpha .

AD - биссектриса, следовательно, \angle BAD=\angle DAC=\alpha .

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и \angle ABD=\angle ADB=\beta .

\angle ADB – внешний в треугольнике ADC, следовательно, \angle ADB=\angle DAC+\angle ACD=2\alpha .

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является \angle C=\alpha , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна 180^{\circ}:

\angle A+\angle B+\angle C=2\alpha +2\alpha +\alpha =5\alpha =180^{\circ }, откуда получаем: \alpha =180^{\circ }:5=36^{\circ }.

Наименьший угол треугольника АВС равен 36^{\circ}.

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит, c = 2,8 + 4,2 = 7.

В соответствии со свойством биссектрисы:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2,8}{4,2}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}.

Или: \displaystyle a=\frac{2}{3}b.

Одновременно выполнено условие для периметра: a+b+c = 22, a+b= 15.

Тогда \displaystyle \frac{5}{3}b=15, b=9, a=6.

Ответ: 9, 6, 7.

 

Поделиться страницей

Это полезно

Задача 18 на числа и их свойства
В этой статье мы расскажем, какие непростые и нестандартные задачи встречались на ЕГЭ-2022 по математике.
Математика «100 баллов»
Задачи на числа и их свойства.
Олимпиадные методы решения!