Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.
В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.
Три высоты треугольника всегда
пересекаются в одной точке.
В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.
Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.
Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.
Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке: Свойства биссектрис треугольника.
Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.
Теорема.Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1.Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен ) пересекаются в точке M.
Рассмотрим треугольник ABM.
,
, тогда .
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Тогда .
Ответ: 45.
Задача 2.Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.
Тогда ;
.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
.
Ответ: 16.
Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.
Требуется найти угол МСD.
Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.
Следовательно,
Искомый
Ответ: 42.
Задача 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.
. Требуется найти угол МСL.
Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.
Следовательно,
т.к. CL – биссектриса.
Искомый
Ответ: 22.
Задача 5. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен .
Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен .
В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:
.
Ответ: 130.
Задача 6. В треугольнике ABC угол С равен , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.
Рассмотрим треугольник AOB.
,
, тогда .
Из треугольника ABC получим, что .
Тогда .
Ответ: 119.
Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Найдем угол ACB. Он равен
Тогда
Из треугольника ACF найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник AOF.
, . Значит .
Ответ: 49.
Задача 8. В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен , угол B равен . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.
Поэтому
Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:
Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:
Ответ: 32.
Задача 9. В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен . Угол САD равен . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Поскольку AD – биссектриса, то
Сумма углов треугольника равна , следовательно,
Ответ: 74.
Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,
Ответ: 116.
Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и
AD - биссектриса, следовательно,
AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и
– внешний в треугольнике ADC, следовательно,
Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.
Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна :
, откуда получаем:
Наименьший угол треугольника АВС равен .
Ответ: 36.
Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть стороны треугольника равны и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,
В соответствии со свойством биссектрисы:
Или:
Одновременно выполнено условие для периметра:
Тогда
Ответ: 9, 6, 7.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
В варианте ЕГЭ-2024 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
В варианте ЕГЭ-2024 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
Вы в разделе с бесплатными материалами от ЕГЭ-Студии. Возможно, вы не знали, что каждую неделю мы проводим
бесплатные образовательные стримы. Записаться можно
здесь.
У нас можно написать пробные ЕГЭ. Мы составили идеальные сбалансированные варианты,
а не скачали в интернете. Регистрация на онлайн
здесь,
или записываетесь и приходите в нашу Московскую студию.
У нас есть очная подготовка. Готовим на высокие баллы.