Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

Три высоты треугольника всегда
пересекаются в одной точке.

В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{m}{n}$

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен $90^{\circ}$ ) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

$\angle M \mkern -4mu AB=0,5 \angle B \mkern -2mu AC$ ,

$\angle AB \mkern -2mu M=0,5 \angle ABC$ , тогда $\angle AM \mkern -3mu B=180^{\circ} - \angle M \mkern -3mu AB - \angle AB \mkern -3mu M = 180^{\circ} - 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right)$ .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен $\varphi$ .

Угол $\varphi$ смежный с углом $AMB$ , следовательно, $\varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right)$ .

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, то $\angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC = 90^{\circ}$ .

Тогда $\varphi = 0,5 \left( \angle ABC + \angle B \mkern -3mu AC \right) = 90^{\circ}:2=45^{\circ}$ .

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны $29^{\circ}$ и $61^{\circ}$ . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда $\angle AC \mkern -3mu H = \angle ABC = 61^{\circ}$ ;

$\angle AC \mkern -3mu K = 90^{\circ}:2=45^{\circ}$ .

Угол между высотой и биссектрисой — это угол $\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H$ .

$\angle K \mkern -2mu C \mkern -2mu H = \angle A \mkern -1mu C \mkern -2mu H - \angle AC \mkern -3mu K = 61^{\circ}-45^{\circ}=16^{\circ}$ .

Ответ: 16.

Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^{\circ}$ и $66^{\circ}$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

$\angle CAB=24^{\circ }, \angle ABC=66^{\circ }.$ Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, $\angle MCB=\angle MBC=66^{\circ }.$

$\angle BCD=\angle BAC=24^{\circ }.$

Искомый $\angle MCD=\angle MCB- \angle BCD=66^{\circ }-24^{\circ }=42^{\circ }.$

Ответ: 42.

Задача 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны $27^{\circ}$ и $63^{\circ}$ . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

$\angle CAB=23^{\circ }, \angle ABC=67^{\circ }.$ . Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, $\angle MCB=\angle MBC=67^{\circ }.$

$\angle BCL=\angle ACL=90^{\circ }:2=45^{\circ },$ т.к. CL – биссектриса.

Искомый $\angle MCL=\angle MCB- \angle BCL=67^{\circ }-45^{\circ }=22^{\circ }.$

Ответ: 22.

Задача 5. Два угла треугольника равны $58^{\circ}$ и $72^{\circ}$ . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен $18^{\circ}$ .

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен $32^{\circ}$ .

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

$\angle AOC = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 32^{\circ} = 130^{\circ}$ .

Ответ: 130.

Задача 6. В треугольнике ABC угол С равен $58^{\circ}$ , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

$\angle O \mkern -2mu AB = \angle A$ ,

$\angle ABO = \angle B$ , тогда $\angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right)$ .

Из треугольника ABC получим, что $\angle A + \angle B = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$ .

Тогда $\angle AO \mkern -2mu B = 180^{\circ} - \left( \angle A + \angle B \right) = 180^{\circ}-61^{\circ}= 119^{\circ}$ .

Ответ: 119.

Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен $60^{\circ}$ , угол B равен $82^{\circ}$ . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен $38^{\circ}.$

Тогда $\angle AC \mkern -3mu F = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}.$

Из треугольника ACF найдем угол $\angle AF \mkern -2mu C = \angle AC \mkern -3mu B = 19^{\circ}$ . Он равен $101^{\circ}$ .

Рассмотрим треугольник AOF.

$\angle AF \mkern -2mu O = 101^{\circ}$ , $\angle F \mkern -3mu AO = \angle B \mkern -3mu AC = 30^{\circ}$ . Значит $\angle AO \mkern -3mu F = 49^{\circ}$ .

Ответ: 49.

Задача 8. В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен $90^{\circ}$ , угол B равен $58^{\circ}$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому $AD=CD=BD.$

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: $\angle ACD = \angle CAD.$

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

$\angle CAD=90^{\circ }-\angle ABC=90^{\circ }-58^{\circ }=32^{\circ }.$

$\angle ACD=\angle CAD=32^{\circ }.$

Ответ: 32.

Задача 9. В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен $50^{\circ}$ . Угол САD равен $28^{\circ}$ . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то $\angle A=2\cdot \angle CAD=2\cdot 28^{\circ }=56^{\circ }.$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ , следовательно,

$\angle B=180^{\circ }- \angle A-\angle C=180^{\circ }-50^{\circ }-56^{\circ }=74^{\circ }.$

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен $26^{\circ}$ . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

$\angle AOC=\angle OAH+\angle AHO=26^{\circ }+90^{\circ }=116^{\circ }.$

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и $\angle DAC=\angle ACD=\alpha .$

AD - биссектриса, следовательно, $\angle BAD=\angle DAC=\alpha .$

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и $\angle ABD=\angle ADB=\beta .$

$\angle ADB$ – внешний в треугольнике ADC, следовательно, $\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD=2\alpha .$

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является $\angle C=\alpha$ , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна $180^{\circ}$ :

$\angle A+\angle B+\angle C=2\alpha +2\alpha +\alpha =5\alpha =180^{\circ }$ , откуда получаем: $\alpha =180^{\circ }:5=36^{\circ }.$

Наименьший угол треугольника АВС равен $36^{\circ}$ .

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$ . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит, $c = 2,8 + 4,2 = 7.$

В соответствии со свойством биссектрисы:

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2,8}{4,2}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}.$

Или: $\displaystyle a=\frac{2}{3}b.$

Одновременно выполнено условие для периметра: $a+b+c = 22, a+b= 15.$

Тогда $\displaystyle \frac{5}{3}b=15, b=9, a=6.$

Ответ: 9, 6, 7.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Это полезно